Norma del supremo

En análisis matemático, la norma del supremo (o también conocida como la norma uniforme) asigna a funciones acotadas de valores complejos ${\displaystyle f:S\rightarrow \mathbb {C} }$ número no negativo

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\|f\|_{\infty ,S}:=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|,\,\,x\in S\,\right\}}$

(de una forma análoga podemos definir la norma del supremo para funciones a valores reales ${\displaystyle f:S\rightarrow \mathbb {R} }$ ).

Esta norma es también llamada como la norma de Chebyshev, la norma infinito, la norma sup, o también, cuando el supremo es de hecho un máximo, en tal caso pasa a llamarse la norma del máximo. Uno de sus tantos nombres, la "norma uniforme" proviene del hecho de que la sucesión ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge a ${\displaystyle f}$ bajo la norma uniforme si y solo si ${\displaystyle f_{n}}$ converge a ${\displaystyle f}$ uniformemente.^[1]

El matemático Pafnuty Chebyshev fue el primero en estudiar esta norma de manera sistemática (de ahí el nombre de "norma de Chebyshev").

Definición

Sea ${\displaystyle S}$ un conjunto cualquiera, definimos el conjunto de las funciones acotadas en ${\displaystyle S}$, es decir

${\displaystyle C(S):=\left\{f:S\rightarrow \mathbb {C} ,\,\,{\text{ existe }}M\geq 0{\text{ tal que }}|f(x)|\leq M\,\,\forall x\in S\right\}}$,

en otras ocasiones este conjunto suele escribirse como ${\displaystyle C_{b}(S)}$ (la letra ${\displaystyle b}$ viene por la palabra bounded en inglés que significa acotada), o también en otros casos ${\displaystyle \ell ^{\infty }(S)}$ o también ${\displaystyle \ell _{b}^{\infty }(S)}$ (se usa este término en casos que la topología de ${\displaystyle S}$ tenga una forma específica). No es difícil ver que mediante las operaciones puntuales el conjunto ${\displaystyle C(S)}$ se transforma en un espacio vectorial.

Si definimos la función ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }:C(S)\rightarrow [0,+\infty )}$ de la forma

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\|f\|_{\infty ,S}:=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|,\,\,x\in S\,\right\}}$

tenemos que el par ${\displaystyle \left(C(S),\Vert \cdot \Vert _{\infty }\right)}$ se transforma en un espacio vectorial normado, es decir, ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }}$ es una norma. Finalmente a esta función la llamamos como la norma del supremo.

Norma del supremo para funciones no acotadas

Observe que si la condición de ser acotada es retirada, entonces puede existir ${\displaystyle \varphi \in C(S)}$ tal que ${\displaystyle \Vert \varphi \Vert _{\infty }=+\infty }$ . Por lo tanto en este caso la función ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }}$ deja de ser una norma, sin embargo es posible definir una topología de todas formas en el espacio ${\displaystyle C(S)}$ y

${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }}$ pasa a ser una métrica extendida.

No es difícil encontrar ejemplos en que ${\displaystyle \Vert \varphi \Vert _{\infty }=+\infty }$. Si consideramos ${\displaystyle S:=(0,1)}$ entonces definiendo la función ${\displaystyle \varphi :S\rightarrow \mathbb {C} }$ dada por

${\displaystyle \varphi (x):={\frac {1}{x}}}$, para todo ${\displaystyle x\in S=(0,1)}$

satisface lo que necesitamos.

Ejemplos

El perímetro del cuadrado es el conjunto de puntos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ tal que la norma del supremo es igual a una constante positiva. Por ejemplo, los puntos ${\displaystyle (2,0)}$, ${\displaystyle (2,1)}$ y ${\displaystyle (2,2)}$ se encuentran en el perímetro de un cuadrado y pertenecen al conjunto de vectores cuya norma del supremo es igual a ${\displaystyle 2}$.

Caso Real y Complejo

Si consideramos al conjunto ${\displaystyle S}$ como un conjunto finito, por ejemplo si ${\displaystyle S:=\{1,2,\dots ,n\}}$ , entonces no es difícil notar que ${\displaystyle C(S)=\mathbb {C} ^{n}}$ (de una manera análoga podemos construir ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) y en este caso podemos notar que la norma del supremo toma la forma de la famosa norma del máximo en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ (o análogamente en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), esto es

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right)=\Vert x\Vert _{\text{max}}}$.

¿Por qué el subíndice infinito?

Sea ${\displaystyle \lambda }$ la medida de Lebesgue en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces definimos la norma p (o también conocida como la p-norma)

${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|f\right|^{p}\,d\lambda \right)^{1/p}}$,

para toda función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ tal que ${\displaystyle f}$ sea ${\displaystyle \lambda }$-medible (observe que este valor puede ser infinito).

Finalmente, si ${\displaystyle f:S\rightarrow \mathbb {C} }$ es acotada y existe ${\displaystyle q}$ tal que ${\displaystyle \Vert f\Vert _{q}}$ sea finito entonces se tiene que

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty }}$.

Este resultado es generalizable para funciones de tipo ${\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ donde ${\displaystyle D}$ es un espacio de medida de medida ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle f}$ es una función ${\displaystyle \mu }$-medible.

Véase también

• Continuidad uniforme
• Espacio Uniforme
• Distancia de Chebyshev
• Álegbra de Banach
• C*-álgebra

Referencias

1. Rudin, Walter (1964). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. pp. 151. ISBN 0-07-054235-X. (requiere registro).

• Datos: Q1202673