Número metálico

En matemáticas los números metálicos son un conjunto de números que reciben nombres especiales relacionados con diferentes metales. Se obtienen a partir de la ecuación de segundo grado:^[1]

(1)${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$

Número de oro (primer rectángulo), número de plata (segundo rectángulo) y el número del bronce (tercer rectángulo).

donde n es un número natural.

Los números metálicos más conocidos son el número de oro (${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$), el número de plata (${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$) y el número de bronce (${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$) que verifican la siguiente fracción continua:^[1]

(2)${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}$

con n igual a 1, 2 y 3 respectivamente.

Tabla 1

Valor de los números metálicos^[2]

Nombre	n	Valor aproximado	Valor exacto
Oro	1	1,618033989...	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
Plata	2	2,414213562...	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$
Bronce	3	3,302775638...	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$
Cobre	4	4,236067978...	${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$
Níquel	5	5,192582404...	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}}$

Historia

Los más conocidos, se han utilizado desde los albores de la aritmética; los más populares, por ejemplo el número áureo, han sido estudiados de manera exhaustiva. Corresponde el mérito de la sistematización, estudio y divulgación de estos números a la matemática argentina Vera de Spinadel (1929-2017).

Denominación y generación

Los números metálicos pueden ser generados por tres diferentes métodos:

Ecuación cuadrática

La solución general de la ecuación de segundo grado se expresa por:

${\displaystyle x={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

que para el rango inferior de n proporciona los valores que se muestran en la Tabla 1.

Fracción continua

La ecuación general puede ser reordenada en la forma:

${\displaystyle x=n+{\frac {1}{x}}}$

Sustituyendo la expresión de la variable en el denominador:

${\displaystyle x=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{x}}}}}$

operación que puede continuarse hasta el infinito, resultando la expresión general de la fracción continua.

Límite de serie

Se denomina sucesión de Fibonacci secundaria a la serie infinita construida según el siguiente criterio:

${\displaystyle G(n+2)=G(n+1)+G(n)}$

El límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos:

${\displaystyle {\frac {G(n)}{G(n-1)}}}$

es, precisamente, el número áureo.

Generalizando el anterior resultado se ha denominado "sucesión de Fibonacci secundaria generalizada" a la formada según la recurrencia:

${\displaystyle G(n+2)=nG(n+1)+G(n)}$

cuyos límites entre dos términos consecutivos tienden a los correspondientes "números metálicos" con idéntico valor de n.

Referencias

1. Corbalán, 2010, p. 30.
2. Weisstein, Eric W. «Silver Ratio». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 11 de octubre de 2021.

Bibliografía

• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea: el lenguaje matemático de la belleza y el arte. RBA Coleccionables. ISBN 978-84-473-6623-1. OCLC 804768186.

Enlaces externos

• La familia de números metálicos (Vera W. de Spinadel) (pdf)

• Datos: Q11634820
• Multimedia: Metallic means / Q11634820