Kliegel nació en Dillenburg, Hesse. Estudió con Janos Starker desde los 19 años. Obtuvo el primer premio en la Competición Universitaria Estadounidense, la Primera Competición Alemana de Música y el Concours Aldo Parisot y también fue la ganadora del Gran Premio en la segunda Competición Internacional Mstislav Rostropovich de violonchelo en 1981.[1]
El compositor ruso Alfred Schnittke reconoció su interpretación como la referencia de su obra cuando grabó su primer Concierto para violonchelo y orquesta en 1990. Tras este triunfo, ha realizado numerosas grabaciones para Naxos, entre ellas de conciertos y otras obras de Beethoven, Bloch, Brahms, Bach, Chaikovski, Donnhanyi, Dvořák, Elgar, Lalo, Saint-Saëns, Shostakóvich, Schumann y Taverner. También ha grabado una gran cantidad de música de cámara de Brahms, Chopin, Demus, Gubaidulina, Kodály, Mendelssohn y Schubert.
Anteriormente empleaba un Stradivarius, que había llegado a ser conocido como el ex-Gendron, por el célebre violonchelista francés Maurice Gendron.[2] En la actualidad, toca un violonchelo fabricado por Carlo Tononi en Venecia hacia 1730.
