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En filosofía de las matemáticas, el logicismo es la doctrina que sostiene que la matemática es en algún sentido importante reducible a la lógica,[1] o en otras palabras que las matemáticas son básicamente una extensión de la lógica. Los logicistas sostienen que las matemáticas se pueden conocer a priori, pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo parte de nuestro conocimiento de la lógica en general, y por lo tanto es analítico y no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas y todas las afirmaciones matemáticas son verdades lógicas necesarias.
Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes:[2]
- Los conceptos matemáticos se pueden derivar de conceptos lógicos a través de definiciones explícitas
- Los teoremas de las matemáticas se pueden derivar de axiomas lógicos a través de deducciones puramente lógicas
Bertrand Russell y Alfred North Whitehead fueron partidarios de esta línea de pensamiento inaugurada por Gottlob Frege. El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX, aunque a veces se alega que los teoremas de incompletitud de Gödel socavan el propósito del proyecto, si bien sería más apropiado decir que socavan más directamente el proyecto formalista.
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Antecedentes
La doctrina logicista tuvo su primer antecedente en Gottfried Leibniz.[1] Sin embargo, el primer intento serio y detallado de reducir la matemática a la lógica tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Richard Dedekind, Georg Cantor y Giuseppe Peano articularon los principios básicos de la matemática, y Gottlob Frege desarrolló el primer sistema de lógica de predicados.[1]
Frege
Gottlob Frege dedicó gran parte de su carrera al proyecto logicista. Sus dos obras principales al respecto se titularon Conceptografía (1879) y Los fundamentos de la aritmética (1884). En Los fundamentos de la aritmética, Frege construyó aritmética a partir de un sistema de lógica con un principio general de comprensión, al que llamó Ley básica V (para los conceptos F y G , la extensión de F es igual a la extensión de G si y solo si para todos los objetos a, Fa es igual a Ga), un principio que consideró aceptable como parte de la lógica.
Sin embargo, a principios del siglo XX, Bertrand Russell descubrió una inconsistencia grave en los principios de los que Frege había partido, hoy conocida como la paradoja de Russell. Esto desanimó a Frege, quien terminó abandonando el proyecto, pero fue continuado por Russell y Whitehead.[3]
Principia Mathematica
Entre 1910 y 1913, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron Principia Mathematica, un intento monumental de reparar los problemas en el sistema de Frege y completar el proyecto logicista.[4] Sin embargo, el sistema de Principia Mathematica tuvo sus propios problemas.[4] En particular, dos de sus axiomas fueron muy cuestionados: por un lado el axioma de infinitud, que afirma que existe un número infinito de objetos, fue criticado por parecer más una proposición empírica que una verdad lógica.[4] Por otro lado, el axioma de reducibilidad, que resuelve algunas dificultades técnicas del sistema, fue criticado por ser demasiado ad hoc como para estar filosóficamente justificado.[4]
Neo-logicismo
Se llama neo-logicismo al intento de resucitar el proyecto logicista original, iniciado por Crispin Wright en un trabajo de 1983.[1] Wright observó que el proyecto original de Frege se puede dividir en dos partes.[1] En la primera, Frege parte de un principio llamado Ley básica V,[1] que dice:
Es decir: el conjunto de todos los A es idéntico al conjunto de todos los B si y sólo si todos los A son B, y todos los B son A. Partiendo de este principio, Frege derivó lo que hoy se conoce como el principio de Hume,[1] que dice:
- El número de los A es el mismo que el de los B si y sólo si los A pueden ser puestos en correspondencia biunívoca con los B.
En la segunda parte, Frege procede a deducir los principios de la aritmética de Peano a partir del principio de Hume, sin hacer más uso de la ley básica V.[1] Wright sugiere que el principio de Hume, a diferencia de la ley básica V, es consistente, y que además se puede considerar como una ley lógica.[1] Si todo esto es cierto, entonces la aritmética de Peano sí puede ser reducida a la lógica.[1]
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