Lema de Borel-Cantelli

En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.^{[1][2][3][4][5]}

Definición en probabilidad y demostración

1º Lema de Borel-Cantelli

Sea ${\displaystyle \{A_{n}\}}$ una sucesión de eventos tal que ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}P(A_{n})<\infty }$ entonces ${\displaystyle P(\textstyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}\displaystyle )=0}$.

Demostración:

Tenemos que ${\displaystyle P(\textstyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}\displaystyle )=}$ ${\displaystyle P(\lim _{n\to \infty }\bigcup _{j\geq n}A_{j})=}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\bigcup _{j\geq n}A_{j})\leq }$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\sum _{j=n}^{\infty }P(A_{j})}$ . Ya que ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}P(A_{n})<\infty }$ implica que ${\displaystyle \sum _{j=n}^{\infty }P(A_{j})\longrightarrow 0,\quad n\longrightarrow \infty }$.

2º Lema de Borel-Cantelli

Sea ${\displaystyle \{A_{n}\}}$ una sucesión de eventos tal que ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}P(A_{n})=\infty }$ y ${\displaystyle \{A_{n}\}}$ son independientes, entonces ${\displaystyle P(\textstyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}\displaystyle )=1}$.

Demostración:

Tenemos que ${\displaystyle P(\limsup _{n\to \infty }A_{n})=}$ ${\displaystyle 1-P(\liminf _{n\to \infty }A_{n}^{c})=}$ ${\displaystyle 1-P(\lim _{n\to \infty }\bigcap _{j\geq n}A_{j}^{c})=}$ ${\displaystyle 1-\lim _{n\to \infty }P(\bigcap _{j\geq n}A_{j}^{c})=}$ ${\displaystyle 1-\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }P(\bigcap _{j=n}^{m}A_{j}^{c})=}$ ${\displaystyle 1-\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}(1-P(A_{j}))}$, donde la última igualdad resulta de la independencia.

Basta ahora probar que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}(1-P(A_{j}))=0}$.

Recordemos la desigualdad ${\displaystyle 1-x\leq e^{-x},\quad 0<x<1}$.

Por tanto, ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}(1-P(A_{j}))\leq \lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}e^{-P(A_{j})}=}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }e^{-\sum _{j=n}^{m}P(A_{j})}=}$ ${\displaystyle e^{-\sum _{j=n}^{\infty }P(A_{j})}=0}$.

Definición formal y demostración

Sea ${\displaystyle \{f_{n}\}\,}$ una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ en los reales. ${\displaystyle \mu \,}$ es la medida. Sea ${\displaystyle \mu f\,}$ la integral de f respecto de ${\displaystyle \mu \,}$. Supongamos que:

${\displaystyle \sum _{n}\mu f_{n}<\infty }$

entonces por convergencia monótona ${\displaystyle \mu \sum _{n}f_{n}=\sum _{n}\mu f_{n}<\infty }$. Por ende la función ${\displaystyle \sum _{n}f_{n}\,}$ es finita c.t.p.-${\displaystyle \mu \,}$.

Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos ${\displaystyle A_{n}\,}$ en ${\displaystyle {\mathcal {A}}\,}$, o sea ${\displaystyle f_{n}=\chi _{A_{n}}}$ y la medida ${\displaystyle \mathbb {P} }$ es de probabilidad entonces: ${\displaystyle \sum _{n}\mathbb {P} A_{n}<\infty }$ implica que ${\displaystyle \sum _{n}\chi _{A_{n}}<\infty }$ c.t.p.-${\displaystyle \mu \,}$, es decir, en ${\displaystyle \Omega \,}$, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos ${\displaystyle A_{n}\,}$ tiene probabilidad cero.

Resultado inverso

Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es casi lo inverso del primer lema. Para una medida ${\displaystyle \mathbb {P} }$ de probabilidad, dice así: dada una sucesión de conjuntos o sucesos independientes ${\displaystyle A_{n}\,}$ en ${\displaystyle {\mathcal {A}}\,}$, entonces ${\displaystyle \sum _{n}\mathbb {P} A_{n}=\infty }$ implica que ${\displaystyle \sum _{n}\chi _{A_{n}}=\infty }$ c.t.p.-${\displaystyle \mathbb {P} \,}$, es decir, en ${\displaystyle \Omega \,}$, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos ${\displaystyle A_{n}\,}$ tiene probabilidad uno.

Bibliografía

• David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).