Forma multilineal

En matemáticas, dado un anillo conmutativo, una función multilineal es una función de ${\displaystyle n}$ argumentos de ${\displaystyle n}$ espacios vectoriales respectivos. Dicha función se caracteriza por respetar la suma de vectores y la multiplicación escalar en cualquiera de las coordenadas.

Definición

Sea ${\displaystyle R}$ un anillo conmutativo (por ejemplo ${\displaystyle R=}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \!}$ o ${\displaystyle R=}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \!}$ ) y ${\displaystyle V_{1},\ldots V_{n},W}$ espacios vectoriales sobre ${\displaystyle R}$.

Una función ${\displaystyle V_{1}\times V_{2}\times \cdots \times V_{n}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}W}$ se dice multilineal si es lineal en cada argumento, es decir, para todo ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ y para todo ${\displaystyle r\in R}$, se cumple ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{i}+x_{i}',\ldots ,x_{n})=f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})+f(x_{1},\ldots ,x_{i}',\ldots ,x_{n})}$, y, ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,r\cdot x_{i},\ldots ,x_{n})=r\cdot f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})}$.

Se puede demostrar que la colección de todas las funciones multilineales de ${\displaystyle V_{1},\ldots V_{n}}$ en ${\displaystyle W}$ es un ${\displaystyle R}$-espacio vectorial respecto a las operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de funciones. Dicho espacio se denota por ${\displaystyle {\mathcal {M}}(V_{1},\ldots ,V_{n};W)}$. Si ${\displaystyle V_{1}=\cdots =V_{n}=V}$ y ${\displaystyle W=R}$, el espacio se denota por ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(V;R)}$.

Funciones multilineales especiales

Sea ${\displaystyle V}$ un ${\displaystyle R}$-espacio vectorial y ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{n}(V;R)}$, es decir, ${\displaystyle \underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\mbox{-veces}}}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R}$. En álgebra abstracta a una función como ${\displaystyle f}$ se le llama tensor y el conjunto de tensores de ${\displaystyle n}$ argumentos sobre el espacio vectorial ${\displaystyle V}$ se denota por ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(V)}$. En otras palabras, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(V)={\mathcal {M}}_{n}(V;R)}$.

Se puede demostrar que:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(V):={\mathcal {M}}_{n}(V;R)\cong (\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\mbox{-veces}}})^{*}\cong \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{n{\mbox{-veces}}}}$

donde ${\displaystyle V^{*}}$ denota el espacio dual, y ${\displaystyle \otimes }$ denota el producto tensorial.

Tensor simétrico

Un tensor ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}_{n}(V)}$ se dice simétrico si para cada permutación ${\displaystyle \pi }$ del grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$ y cualquier elemento ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in V\times \cdots \times V}$ se cumple ${\displaystyle f(\pi (v_{1}),\ldots ,\pi (v_{n}))=f(v_{1},\ldots ,v_{n})}$. El ${\displaystyle R}$-espacio vectorial de todos los tensores simétricos se denota por ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(V)}$ y obviamente, ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)}$.

Tensor antisimétrico

Un tensor ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}_{n}(V)}$ se dice antisimétrico si para cada permutación ${\displaystyle \pi }$ del grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$ y cualquier elemento ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in V\times \cdots \times V}$ se cumple ${\displaystyle f(\pi (v_{1}),\ldots ,\pi (v_{n}))=(-1)^{\pi }f(v_{1},\ldots ,v_{n})}$, donde ${\displaystyle (-1)^{\pi }}$ denota el signo de la permutación. El ${\displaystyle R}$-espacio vectorial de todos los tensores antisimétricos se denota por ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(V)}$ y obviamente, ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)}$.

Tensor alternado

Un tensor ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}_{n}(V)}$ se dice alternado si dado ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in V\times \cdots \times V}$ con la particularidad de que ${\displaystyle v_{i}=v_{j}}$ para algún par de índices ${\displaystyle i\neq j}$, se tiene que ${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=0}$. El ${\displaystyle R}$-espacio vectorial de todos los tensores alternados se denota por ${\displaystyle {{\mathcal {A}}L}_{n}(V)}$ y ${\displaystyle {{\mathcal {A}}L}_{n}(V)\subset {\mathcal {A}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)}$, es decir, todo tensor alternado es antisimétrico. Además, cuando en el anillo conmutativo ${\displaystyle R}$ el ${\displaystyle 2}$ es invertible, entonces se tiene la igualdad ${\displaystyle {{\mathcal {A}}L}_{n}(V)={\mathcal {A}}_{n}(V)}$, es decir, los tensores alternados son exactamente los antisimétricos.

Bibliografía

Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 4: Álgebra Lineal, SAC²: Seminario de Álgebra Constructiva, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. https://web.archive.org/web/20130603160516/http://www.matematicas.unal.edu.co/sac2/

• Datos: Q1930346