Exportación (lógica)

Exportación^[1][2][3][4] es una regla de reemplazo válida de la lógica proposicional. La regla establece que si ${\displaystyle P}$ implica ${\displaystyle Q}$, que a su vez implica ${\displaystyle R}$, entonces ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle Q}$ implica ${\displaystyle R}$ y viceversa. La regla permite sustituir sentencias condicionales que tengan antecedentes conjuntivos por declaraciones que tienen consecuentes condicionales y viceversa en pruebas lógicas. Esta es la representación simbólica de la regla:

${\displaystyle ((P\land Q)\to R)\Leftrightarrow (P\to (Q\to R))}$

Donde "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una demostración con"

Notación formal

La regla de exportación puede escribirse en la notación subsiguiente:

${\displaystyle ((P\land Q)\to R)\vdash (P\to (Q\to R))}$

donde ${\displaystyle \vdash }$ es un símbolo metalógico significando que ${\displaystyle (P\to (Q\to R))}$ es consecuencia sintáctica de ${\displaystyle ((P\land Q)\to R)}$ en algún sistema lógico;

o en forma de regla:

${\displaystyle {\frac {(P\land Q)\to R}{P\to (Q\to R)}}.}$

donde la regla es que cada vez que en las líneas de una demostración aparezcan las instancias de "${\displaystyle (P\land Q)\to R}$", éstas pueden ser reemplazadas con "${\displaystyle P\to (Q\to R)}$";

${\displaystyle (P\to Q)\leftrightarrow (P\to (P\land Q))}$

y expresado como una tautología o teorema de la lógica proposicional.

${\displaystyle ((P\land Q)\to R))\to (P\to (Q\to R)))}$

donde ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, y ${\displaystyle R}$ son proposiciones expresadas en algún sistema lógico.

Lenguaje natural

Valores de verdad

En todo momento si P→Q es cierto, puede ser reemplazado por P→(P∧Q).
Uno de los casos posibles para P→Q es para P es verdadero y Q es verdadero; por lo tanto P∧Q también es verdad y P→(P∧Q) es verdadero.
Otro caso posible establece como falso P y Q como verdadero. Por lo tanto, P∧Q es falso y P→(P∧Q) es falso; falso→falso es verdadero.
El último caso se produce cuando tanto P y Q son falsas. Por lo tanto, P∧Q es falso y P→(P∧Q) es verdadero.

Ejemplo

Que llueva y el sol brille implica que hay un arcoíris.
Por lo tanto, si llueve, entonces el sol brilla implica que hay un arcoíris.

Relación a funciones

La exportación está asociada a la Currificación mediante la correspondencia de Curry-Howard.

Referencias

1. Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic (4ta edición). Wadsworth Publishing. pp. 364-5. (requiere registro).
2. Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall. p. 371.
3. Moore and Parker
4. http://www.philosophypages.com/lg/e11b.htm

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción total derivada de «Exportation (logic)» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.

• Datos: Q5421567