Ecuación hipsométrica

La ecuación hipsométrica o ecuación altimétrica es una ecuación utilizada en meteorología y oceanografía que relaciona un cociente entre presiones atmosféricas con el grosor equivalente de una capa atmosférica asumiendo temperatura y gravedad constantes. Se deriva de la ecuación hidrostática y de la ley de los gases ideales.

Ecuación

La ecuación hipsométrica se expresa como:^[1][2]

${\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\ {\bar {T}}}{g}}\ \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)}$

Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
${\displaystyle h}$	Grosor de la capa atmosférica		m
${\displaystyle z}$	Altitud		m
${\displaystyle g}$	Aceleración gravitacional estándar		m / s2
${\displaystyle R}$	Constante de los gases específica para el aire seco	287.06	J / (kg K)
${\displaystyle {\bar {T}}}$	Temperatura media de la capa		K
${\displaystyle p}$	Presión		Pa

En meteorología, ${\displaystyle p_{1}}$ y ${\displaystyle p_{2}}$ son superficies isobáricas. En altimetría, con la Atmósfera Estándar Internacional, la ecuación hipsométrica se emplea para computar la presión a una altitud dada en capas isotérmicas en la estratosfera superior e inferior.

Derivación de la ecuación

La ecuación hidrostática:

${\displaystyle p=\rho \cdot g\cdot z}$

donde ${\displaystyle \rho }$ es la densidad [kg/m³], se usa para generar la ecuación del equilibrio hidrostático, expresada en forma diferencial:

${\displaystyle dp=-\rho \cdot g\cdot dz}$

Esto se combina con la ley de los gases ideales:

${\displaystyle p=\rho \cdot R\cdot T}$

Recordar que en todo el desarrollo que sigue, ${\displaystyle R}$ no es la Constante de los gases ideales sino la constante específica para el aire seco, es decir, aquí ${\displaystyle R}$ es la constante de los gases dividida por la masa molar del aire seco.

Para eliminar ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z}$

Esta expresión se integra entre ${\displaystyle z_{1}}$ y ${\displaystyle z_{2}}$:

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z}$

R y g son constantes respecto de z, por lo que se pueden sacar fuera de la integral. Si la variación de la temperatura es lineal respecto de z (como se supone en la Atmósfera Estándar Internacional), también se puede sacar de la integral reemplazándola por ${\displaystyle {\bar {T}}}$, la temperatura media entre ${\displaystyle z_{1}}$ y ${\displaystyle z_{2}}$.

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z}$

Al integrar, se obtiene:

${\displaystyle \ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})}$

que se simplifica a:

${\displaystyle \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})}$

Reordenando los términos, queda:

${\displaystyle z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)}$

o, alternativamente, eliminando el logaritmo neperiano (ln):

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}}$

Referencias

1. «Hypsometric equation - AMS Glossary». Consultado el 12 de marzo de 2013.
2. Zúñiga López, Ignacio; Crespo del Arco, Emilia (2010). Meteorología y climatología. UNED. p. 69. ISBN 9788436260076.

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Hypsometric equation» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.

• Datos: Q1786344