Dominio en estrella

En geometría, un conjunto ${\displaystyle S}$ en un espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ se denomina dominio en estrella (o conjunto convexo estrellado, conjunto en forma de estrella o conjunto radialmente convexo) si existe un ${\displaystyle s_{0}\in S}$ tal que para todos los ${\displaystyle s\in S,}$ el segmento de ${\displaystyle s_{0}}$ a ${\displaystyle s}$ se encuentre en ${\displaystyle S.}$ Esta definición se puede generalizar inmediatamente a cualquier espacio vectorial real o complejo.

Un dominio en estrella (equivalentemente, un conjunto convexo estrellado o en forma de estrella) no es necesariamente convexo en el sentido común del término

Intuitivamente, si se piensa en ${\displaystyle S}$ como una región rodeada por una pared, ${\displaystyle S}$ es un dominio estelar si se puede encontrar un punto de vista ${\displaystyle s_{0}}$ en ${\displaystyle S}$ desde el cual cualquier punto ${\displaystyle s}$ de ${\displaystyle S}$ esté dentro de su línea de visión. Un concepto similar, pero distinto, es el de conjunto radial.

Definición

Una corona circular no es un dominio en estrella

Dados dos puntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ (como el espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), la envolvente convexa de ${\displaystyle \{x,y\}}$ se llama intervalo cerrado con puntos finales ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ y se denota por

${\displaystyle \left[x,y\right]~:=~\left\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(y-x)[0,1],}$

donde ${\displaystyle z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}}$ para cada vector ${\displaystyle z}$.

Un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ se dice que tiene forma de estrella desde ${\displaystyle s_{0}\in S}$ si para cada ${\displaystyle s\in S,}$ el intervalo cerrado ${\displaystyle \left[s_{0},s\right]\subseteq S.}$

Un conjunto ${\displaystyle S}$ tiene forma de estrella y se llama dominio en estrella si existe algún punto ${\displaystyle s_{0}\in S}$ tal que ${\displaystyle S}$ tenga forma de estrella desde ${\displaystyle s_{0}.}$.

Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto en estrella.^[1] Estos conjuntos están cerrados en relación con el funcional de Minkowski.

Ejemplos

• Cualquier recta o plano en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es un dominio en estrella.
• Una recta o un plano al que se le ha eliminado un solo punto no es un dominio en estrella.
• Si ${\displaystyle A}$ es un conjunto en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$, el conjunto ${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$ obtenido al conectar todos los puntos en ${\displaystyle A}$ con el origen es un dominio en estrella.
• Cualquier conjunto convexo no vacío es un dominio en estrella. Un conjunto es convexo si y solo si es un dominio en estrella con respecto a cualquier punto de ese conjunto.
• Una figura con forma de cruz es un dominio en estrella, pero no es convexa.
• Un polígono con forma de estrella es un dominio en estrella cuyo límite es una secuencia de segmentos rectilíneos conectados entre sí.

Propiedades

• La clausura de un dominio en estrella es también un dominio en estrella, pero el interior de un dominio en estrella no es necesariamente un dominio en estrella.
• Cada dominio en estrella es un conjunto contráctil, a través de una homotopía rectilínea. En particular, cualquier dominio en estrella es un conjunto simplemente conexo.
• Cada dominio en estrella, y solo un dominio en estrella, puede reducirse a sí mismo; es decir, para cada relación de dilatación ${\displaystyle r<1,}$, el dominio puede dilatarse en una relación ${\displaystyle r}$ tal que el dominio estelar dilatado esté contenido en el dominio estelar original.^[2]
• La unión y la intersección de dos dominios en estrella no son necesariamente un dominio en estrella.
• Un dominio en estrella abierto no vacío ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es de difeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• Dado ${\displaystyle W\subseteq X,}$, el conjunto ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$ (donde ${\displaystyle u}$ abarca todos los escalares de vector unitario) es un conjunto equilibrado siempre que ${\displaystyle W}$ tenga forma de estrella respecto al origen (lo que significa que ${\displaystyle 0\in W}$ y ${\displaystyle rw\in W}$ para todos los ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ y ${\displaystyle w\in W}$).

Véase también

• Conjunto absolutamente convexo
• Problema de la galería de arte
• Convexidad
• Estrella (figura geométrica)