Doble producto vectorial

Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión ${\displaystyle \,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)}$   o  ${\displaystyle \,\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} }$ ; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.

Doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:

${\displaystyle \,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)-\mathbf {C} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)}$

demostrada más adelante.

Propiedades

Regla del cerdito para doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

• Según la fórmula, ${\displaystyle \mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)}$ es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C.
• La interpretación geométrica del vector ${\displaystyle {\vec {p}}=({\vec {u}}\times {\vec {a}})\times {\vec {u}}}$ es la proyección ortogonal del vector ${\displaystyle {\vec {a}}}$ sobre el plano cuyo vector normal es ${\displaystyle {\vec {u}}}$ .

• El producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, ya que es antisimétrico (o anticonmutativo).

El vector

${\displaystyle \,\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} =-\mathbf {C} \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {B} -\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {A} }$

está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será

${\displaystyle \,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)\neq \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} }$

con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.

• Identidad de Jacobi:

${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=0}$

Cuand

Notación de Levi-Civita

Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma

${\displaystyle \,\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\varepsilon _{ijk}A^{j}\varepsilon _{k\ell m}B^{\ell }C^{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}A^{j}B^{\ell }C^{m}}$

Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&{}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&{}={\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplaciano }}\mathbf {f} .\end{aligned}}}$

Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.

Demostración

Gráfico tridimensional del doble producto vectorial A x (B x C)

Sea ${\displaystyle \mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)}$ el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores. Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C, cualquiera sea la dirección de A. Entonces, se puede descomponer al vector ${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}$ en una componente paralela a B y otra paralela a C.

(1)${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} x+\mathbf {C} y\quad x,y\in \mathbb {R} \quad }$

Para facilitar la demostración primero se supondrá ${\displaystyle \mathbf {B} \bot \mathbf {C} }$; luego la fórmula se ampliará de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en (1):

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot [\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {B} x+\mathbf {C} y)}$

Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B.C = 0 por ser perpendiculares):

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\mathbf {B} x+\mathbf {C} y)=\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} x+\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} y=\left|\mathbf {B} \right|^{2}x}$

El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus factores de esta manera:

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot [\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]=\mathbf {A} \cdot [(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} ]}$

Igualando las expresiones anteriores se tiene:

(2)${\displaystyle \mathbf {A} \cdot [(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} ]=\left|\mathbf {B} \right|^{2}x\quad }$

El producto ${\displaystyle (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} }$ da como resultado un vector en la misma dirección y sentido que C (ver figura). Si averiguamos el módulo de este producto obtenemos:

${\displaystyle \left|(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} \right|=\left|(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\right|.\left|\mathbf {B} \right|.\operatorname {sen} {\pi \over 2}=\left|\mathbf {B} \right|.\left|\mathbf {C} \right|.\operatorname {sen} {\pi \over 2}.\left|\mathbf {B} \right|.1=\left|\mathbf {B} \right|^{2}.\left|\mathbf {C} \right|}$

Como ${\displaystyle (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} }$ es de dirección y sentido iguales a C, se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} =\quad \left|\mathbf {B} \right|^{2}\quad \mathbf {C} }$

Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A, coincide con (2).

${\displaystyle \therefore \,x=\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} }$

Para averiguar y se sigue un proceso análogo, en el cual se efectúa en (1) el producto escalar por el vector C:

${\displaystyle \mathbf {C} \cdot [\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {B} x+\mathbf {C} y)}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot [(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {C} ]=\left|\mathbf {C} \right|^{2}y}$

En este punto cabe destacar una diferencia importante, que se deduce de la imagen. Nótese que el vector ${\displaystyle (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {C} }$ es opuesto a B. Esto implica:

${\displaystyle -\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \left|\mathbf {C} \right|^{2}=\left|\mathbf {C} \right|^{2}y\quad \rightarrow \quad y=-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$

Reemplazamos x e y en (1) y obtenemos la fórmula de doble producto vectorial para B y C perpendiculares.

(*)${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\quad }$

Fórmula general

Considerando ahora un vector B, ya no necesariamente perpendicular a C, se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C.

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} '+\mathbf {C} k\quad \mathbf {B} '\bot \mathbf {C} ,k\in \mathbb {R} }$

Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma (*):

${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {A} \times [(\mathbf {B} '+\mathbf {C} k)\times \mathbf {C} ]=\mathbf {A} \times (\mathbf {B} '\times \mathbf {C} +\mathbf {C} k\times \mathbf {C} )=\mathbf {A} \times (\mathbf {B} '\times \mathbf {C} )}$

De modo que se puede desarrollar de esta manera:

${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} '\times \mathbf {C} )=\mathbf {B} '(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ')}$

Ahora, tenemos ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} '+\mathbf {C} k\Rightarrow \mathbf {B} '=\mathbf {B} -\mathbf {C} k}$. Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.

${\displaystyle \mathbf {B} '(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ')=(\mathbf {B} -\mathbf {C} k)(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} [\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} -\mathbf {C} k)]=}$

${\displaystyle =\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} k)=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} k)=}$ ${\displaystyle =\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} ){\cancel {-\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )}}-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ){\cancel {+\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )}}}$

${\displaystyle \therefore \ \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}$

Esta última identidad coincide con (*) y vale para cualquiera sean A, B y C.

Véase también

• Producto vectorial
• Producto escalar
• Producto mixto
• Símbolo de Levi-Civita