Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Schwarz, es una desigualdad que se encuentra en diversas áreas de la matemática, como el álgebra lineal,^[1] el análisis matemático^[2] y la teoría de probabilidades.^[3]

La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888).

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Sea ${\displaystyle V}$ un espacio vectorial complejo con producto escalar. Los vectores ${\displaystyle u,v\in V}$, cumplen la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

${\displaystyle |(u,v)|^{2}\leq (u,u)(v,v)}$

Donde ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ es el producto escalar.

Demostración

Tomemos la combinación de vectores ${\displaystyle \lambda u-\mu v}$, con ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$. El producto de este vector por sí mismo es siempre mayor o igual que cero, por las propiedades del producto escalar.

${\displaystyle (\lambda u-\mu v,\lambda u-\mu v)\geq 0}$

Aplicando la linealidad por la derecha del producto escalar, se puede desarrollar la expresión anterior.

${\displaystyle |\lambda |^{2}(u,u)-{\bar {\lambda }}\mu (u,v)-{\bar {\mu }}\lambda (v,u)+|\mu |^{2}(v,v)\geq 0}$

Esta desigualdad debe cumplirse para cualquier valor de los escalares ${\displaystyle \lambda }$ y ${\displaystyle \mu }$. En particular, se cumple para ${\displaystyle \lambda =(u,v)}$,${\displaystyle \mu =(u,u)}$. Sustituyendo estos valores en la desigualdad:

${\displaystyle |(u,v)|^{2}(u,u)-2|(u,v)|^{2}(u,u)+(u,u)^{2}(v,v)\geq 0}$

Y finalmente:

${\displaystyle (u,u)(v,v)\geq |(u,v)|^{2}}$

Q.E.D

La desigualdad se satura (se vuelve igualdad) si y solo si los vectores son linealmente dependientes entre sí.

Caso Particular: Desigualdad en un espacio vectorial V {\displaystyle V} sobre R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

Sean ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{1},...,b_{n}}$ números reales cualesquiera.

Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}}\right)^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}{a_{k}^{2}}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}{b_{k}^{2}}\right)}$ Además la igualdad se verifica si y sólo si existe un número real ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle a_{k}x+b_{k}=0}$ para cada ${\displaystyle k=1\dots n.}$

Demostración

Una suma de cuadrados no puede ser nunca negativa. Por lo tanto tenemos lo siguiente:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{(a_{k}x+b_{k})^{2}}={\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}{a_{k}^{2}}{\Bigr )}x^{2}+2{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}}{\Bigr )}x+\sum _{k=1}^{n}{b_{k}^{2}}\geq 0}$

para todo número real ${\displaystyle x}$; y se cumple la igualdad si y sólo si cada término de la suma (${\displaystyle a_{k}x+b_{k}}$, para todo k) es igual a cero.

Esta desigualdad puede escribirse en la forma:

${\displaystyle Ax^{2}+2Bx+C\geq 0}$

donde:

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}^{2}},\quad B=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}},\quad C=\sum _{k=1}^{n}{b_{k}^{2}}}$

La ecuación anterior determina un polinomio cuadrático que no podrá tener dos raíces reales porque siempre es mayor o igual que 0. Por lo tanto su discriminante debe ser menor o igual que cero:

${\displaystyle \Delta =(2B)^{2}-4AC=4(B^{2}-AC)\leq 0,}$

Por lo tanto:

${\displaystyle B^{2}\leq AC}$, y esta es la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma: ${\displaystyle (a\cdot {}b)^{2}\leq \left\|{a}\right\|^{2}\left\|{b}\right\|^{2}}$

donde

${\displaystyle a=(a_{1},...,a_{n}),b=(b_{1},...,b_{n})}$ son dos vectores n-dimensionales, ${\displaystyle a\cdot {}b=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}}}$ es su producto escalar y ${\displaystyle \left\|{a}\right\|={\sqrt[{}]{(a\cdot {}a)}}}$ es la norma de a.

Curiosidades

• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Desigualdad de Hölder, con p = q = 2.

• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.
• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.
• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.
• La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.

Véase también

• Desigualdad de Minkowski
• Desigualdad de Hölder