Cuadro de oposición de los juicios

Se llama cuadrado o cuadro de oposición^[1] al esquema mediante el cual se estudian las proposiciones con relaciones formales entre los diversos tipos de juicios aristotélicos, A, E, I, O, considerando cada juicio con términos idénticos. En su día fue considerado por el mismo Aristóteles en su obra «Sobre la interpretación».^[2]

El cuadro tiene su origen en las cuatro oraciones marcadas que deben emplearse en el razonamiento silogístico, las cuales son:

• a = Universal afirmativo. Término Sujeto tomado en su extensión universal; término Predicado particular; cualidad afirmativa (Todo S es P).
• e = Universal negativo. Término Sujeto tomado en su extensión universal; término Predicado universal; cualidad negativa (Ningún S es P).^[3]
• i = Particular afirmativo. Término Sujeto tomado en su extensión particular; término Predicado en su extensión particular; cualidad afirmativa (Algún S es P).
• o = Particular negativo. Término Sujeto tomado en su extensión particular; término Predicado en su extensión universal; cualidad negativa (Algún S no es P).^[4]

Se llaman juicios opuestos a los que teniendo los mismos términos difieren en cantidad, en cualidad o en ambas. Se representan en cada uno de los vértices del cuadrado de oposición, estableciéndose las siguientes relaciones:

• A y E son contrarios porque difieren en cualidad siendo universales.
• I y O son subcontrarios, porque siendo particulares difieren en la cualidad.
• A con respecto a O, e I con respecto a E son contradictorios, porque difieren en cantidad y cualidad.
• A con respecto a I, y E con respecto a O son subalternos porque difieren en la cantidad.

Las relaciones con respecto al valor de verdad en relación de unos y otros se muestran en los siguientes cuadros:

Oposición	Juicios relacionados	Relación veritativa
Contrarios	A - E	No pueden ser ambos verdaderos Pero pueden ser los dos falsos
Subcontrarios	I - O	Pueden ser ambos verdaderos Pero no pueden ser los dos falsos
Subalternos	A - I E - O	Si el universal (A, E) es verdadero, entonces el particular (I, O) es verdadero Pero si el particular (I, O) es verdadero, entonces el universal (A, E) es indeterminado Si el particular (I, O) es falso, entonces el universal (A, E) es falso Pero si el universal (A, E) es falso, entonces el particular (I, O) es indeterminado
Contradictorios	A - O E - I	Si uno es verdadero el otro es falso y viceversa Ni ambos verdaderos, ni ambos falsos.

Cuadro de oposición - Valores de Verdad

	A	E	I	O
A es verdadero	V	F	V	F
A es falso	F	Ind.	Ind.	V
E es verdadero	F	V	F	V
E es falso	Ind.	F	V	Ind.
I es verdadero	Ind.	F	V	Ind.
I es falso	F	V	F	V
O es verdadero	F	Ind.	Ind.	V
O es falso	V	F	V	F

Donde V = Verdadera, F = Falsa, Ind. = Indeterminada

Para otras posibles inferencias directas a partir de un juicio es necesario hacer unas operaciones que producen nuevos juicios: la conversión y la obversión, contraposición e inversión.

Otros cuadros de oposición

Cubo de Reichenbach

Cubo de oposición de Reichenbach

H. Reichenbach,^[5] presenta un cubo de oposición en cuyos vértices se presentan las expresiones de relación de clases mediante las vocales "a" (universales) e "i" (particulares)^[6] y expresando la negación como complementariedad de las clases S (sujeto) y P (predicado).^[7]

Las relaciones de dichas expresiones figuran en los trazos del cubo según el cuadro siguiente:

OPOSICIÓN	VÉRTICES	EXPRESIONES	TRAZO
Contradictorias	${\displaystyle SaP-Si{\bar {P}}}$ ${\displaystyle SiP-Sa{\bar {P}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}aP-{\bar {S}}i{\bar {P}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}iP-{\bar {S}}a{\bar {P}}}$	Todo S es P --- Algún S es No-P Algún S es P --- Todo S es No-P Todo No-S es P --- Algún No-S es No-P Algún No-S es P --- Todo No-S es No-P	Rojo
Contrarias	${\displaystyle SaP-Sa{\bar {P}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}aP-{\bar {S}}a{\bar {P}}}$	Todo S es P --- Todo S es No-P (Ningún S es P) Todo No-S es P --- Todo No-S es No-P	Negro
Contrarias oblicuas	${\displaystyle SaP-{\bar {S}}aP}$ ${\displaystyle Sa{\bar {P}}-{\bar {S}}a{\bar {P}}}$	Todo S es P --- Todo No-S es P Todo S es No-P (ningún S es P) --- Todo No-S es No-P	Verde
Subcontrarias	${\displaystyle SiP-Si{\bar {P}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}iP-{\bar {S}}i{\bar {P}}}$	Algún S es P --- Algún S es No-P Algún No-S es P --- Algún No-S es No-P	Gris
Subcontrarias oblicuas	${\displaystyle SiP-{\bar {S}}iP}$ ${\displaystyle Si{\bar {P}}-{\bar {S}}i{\bar {P}}}$	Algún S es P --- Algún No-S es P Algún S es No-P --- Algún No-S es No-P	Amarillo
Subalternas	${\displaystyle SaP-SiP\,}$ ${\displaystyle Sa{\bar {P}}-Si{\bar {P}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}aP-{\bar {S}}iP}$ ${\displaystyle {\bar {S}}a{\bar {P}}-{\bar {S}}i{\bar {P}}}$	Todo S es P --- Algún S es P Todo S es No-P (ningún S es P) --- Algún S es No-P Todo No-S es P --- Algún No-S es P Todo No-S es No-P --- Algún No-S es No-P	Marrón
Subalternas laterales	${\displaystyle SaP-{\bar {S}}iP}$ ${\displaystyle SiP-{\bar {S}}aP}$ ${\displaystyle Sa{\bar {P}}-{\bar {S}}i{\bar {P}}}$ ${\displaystyle Si{\bar {P}}-{\bar {S}}a{\bar {P}}}$	Todo S es P --- Algún No-S es P Algún S es P --- Todo No-S es P Todo S es No-P --- Algún No-S es No-P Algún S es No-P --- Todo No-S es No-P	Verde oscuro
Opuestas	${\displaystyle SaP-{\bar {S}}a{\bar {P}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}aP-Sa{\bar {P}}}$	Todo S es P --- Todo No-S es No-P Todo No-S es P --- Todo S es No-P (ningún S es P)	Azul
Subopuestas	${\displaystyle SiP-{\bar {S}}i{\bar {P}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}iP-Si{\bar {P}}}$	Algún S es P --- Algún No-S es No-P Algún No-S es P --- Algún S es No-P	Morado

Hexágono de Doyle

Hexágono de J. J. Doyle.

Por su parte J. J. Doyle presenta un hexágono que representa las relaciones veritativas entre las diversas relaciones de dichas expresiones:

• Contradicción: Si la primera proposición es verdadera, la segunda es falsa. Si la primera es falsa, la segunda es verdadera.
• Equivalencia: Si la primera proposición es verdadera, la segunda es verdadera. Si la primera es falsa, la segunda es falsa.
• Superimplicación: Si la primera es verdadera, la segunda es verdadera. Si la primera es falsa, la segunda puede ser verdadera o falsa.
• Subimplicación: Si la primera es verdadera, la segunda puede ser verdadera o falsa. Si la primera es falsa, la segunda es falsa.
• Contrariedad: Si la primera es verdadera, la segunda es falsa. Si la primera es falsa, la segunda puede ser verdadera o falsa.
• Subcontrariedad: Si la primera es verdadera, la segunda puede ser verdadera o falsa. Si la primera es falsa, la segunda es verdadera.
• Independencia: Si la primera es verdadera, la segunda puede ser veredadera o falsa. Si la primera es falsa, la segunda puede ser verdadera o falsa.

Oposición en lógica cuantificacional

Las tradicionales oposiciones aristotélicas se expresan como:

${\displaystyle \bigwedge x(Fx\rightarrow Gx)\leftrightarrow \lnot \bigvee x(Fx\wedge \lnot Gx)}$

${\displaystyle \bigwedge x(Fx\rightarrow \lnot Gx)\leftrightarrow \lnot \bigvee x(Fx\wedge Gx)}$

${\displaystyle \bigvee x(Fx\land Gx)\leftrightarrow \lnot \bigwedge x(Fx\rightarrow \lnot Gx)}$

${\displaystyle \bigvee x(Fx\land \lnot Gx)\leftrightarrow \lnot \bigwedge x(Fx\rightarrow Gx)}$

Las llamadas leyes de oposición simple se expresan como:

${\displaystyle \lnot \bigwedge xFx\leftrightarrow \bigvee x\lnot Fx}$

${\displaystyle \lnot \bigvee xFx\leftrightarrow \bigwedge x\lnot Fx}$

${\displaystyle \bigwedge xFx\leftrightarrow \lnot \bigvee x\lnot Fx}$

${\displaystyle \bigvee xFx\leftrightarrow \lnot \bigwedge x\lnot Fx}$

Oposición en lógica modal

Aristóteles también consideró las oposiciones modales con las limitaciones de su lógica.^[8] Según Jacques Maritain^[9] el fundamento de este cuadro consiste en abstraer la cantidad del dictum y en considerar solo la cantidad del modus, la cualidad del modus y la cualidad del dictum. Asimismo hay que suponer que contingente es equiparable a posible y la equivalencia de los siguientes pares de proposiciones con la proposición a la derecha:^[10]

Cuadro de oposición en lógica modal.

Es imposible que no sea No es posible que no sea	${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$	Es necesario que sea
Es necesario que no sea No es posible que sea	${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$	Es imposible que sea
No es imposible que no sea No es necesario que no sea	${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$	Es posible que sea
No es imposible que no sea No es necesario que sea	${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$	Es posible que no sea

El cuadro de oposición modal con la notación simbólica de C.I.Lewis es la siguiente:

A	${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$	${\displaystyle {\big \rceil }\Diamond {\big \rceil }p=\Box p}$
E	${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$	${\displaystyle {\big \rceil }\Diamond p=\Box {\big \rceil }p}$
I	${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$	${\displaystyle \Diamond p=\lceil \Box {\big \rceil }p}$
O	${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$	${\displaystyle \Diamond p={\big \rceil }p={\big \rceil }\Box p}$

Cuadro de oposiciones modales en ASCII

Donde Np significa «necesariamente p», Pp significa «posiblemente p», N~p significa «necesariamente no p» y P~p significa «posiblemente no p»:

Np      c o n t r a r i a s      N~p
   c                           s
     o                       a
s      n                   i      s 
u        t               r        u
b          r           o          b
a            a       t            a
l              d   c              l
t                i                t
e              d   c              e
r            a       t            r
n          r           o          n
a        t               r        a
s      n                   i      s
     o                       a
   c                           s
Pp   s u b c o n t r a r i a s   P~p

Cuadro octogonal de oposición modal.

Cuadro octogonal de oposición modal

Oposición	Vértices
Contradictorias	Es necesario que todo S sea P ${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$ Es posible que algún S no sea P Es imposible que ningún S sea P ${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$ Es posible que algún S sea P Es necesario que algún S sea P ${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$ Es posible que todo S no sea P Es posible que todo S sea P ${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$ Es imposible que algún S sea P
Contrarias	Es necesario que todo S sea P ${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$ Es imposible que ningún S sea P
Subcontrarias	Es posible que algún S sea P ${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$ Es posible que algún S no sea P
Subalternas	Es necesario que todo S sea P ${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$ Es posible que algún S sea P Es imposible que ningún S sea P ${\displaystyle \Longleftrightarrow \;}$ Es posible que algún S no sea P