Criterio de Euler
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En teoría de números, concretamente en aritmética modular, el criterio de Euler es utilizado para calcular si un número entero x es un residuo cuadrático módulo un número primo. Su nombre se debe al matemático suizo Leonhard Euler.[1][2][3]
Enunciado
Resumir
Contexto
Sea p > 2 un número primo y a un número entero coprimo con p. Entonces a es un residuo cuadrático módulo p si y solo si
Como corolario de este teorema se obtiene que si a no es un residuo cuadrático módulo p entonces
Así, el criterio de Euler puede ser reformulado de manera más compacta usando el símbolo de Legendre:
Demostración
Supóngase que . Se sabe por el pequeño teorema de Fermat que si p es primo y es coprimo con a, es decir, p no divide al número a, entonces . Luego se tiene que
A la inversa, se supone que . Sea b un elemento primitivo módulo p. Entonces para algún i. Luego se tiene que
Como b es de orden p-1, debe darse el caso de que p-1 divide a i(p-1)/2. Por lo tanto, i es par, y las raíces cuadradas de a son .
Referencias
Enlaces externos
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