Cotangente hiperbólica

En trigonometría, la cotangente hiperbólica de un número real ${\displaystyle x}$, es una función hiperbólica definida como la inversa de la tangente hiperbólica. Se simboliza ${\displaystyle {\text{coth}}(x)}$ o ${\displaystyle {\text{cotgh}}(x)}$ y matemáticamente se sintetiza:

${\displaystyle \operatorname {coth} (x)={\frac {\operatorname {cosh} (x)}{\operatorname {senh} (x)}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}$

Gráfica de la función cotangente hiperbólica.

Características

El dominio de la función está definido para ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ y ${\displaystyle (0,+\infty )}$ y su codominio queda definido para el intervalo ${\displaystyle (-\infty ,-1)}$ y ${\displaystyle (1,+\infty )}$. La función presenta una asíntota horizontal en ${\displaystyle y=-1}$ y en ${\displaystyle y=1}$. A ambos lados de la asíntota nos encontramos una función monótona estrictamente decreciente.

Derivación

La derivada de la función es:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x}$

Teorema de adición

La función cotangente hiperbólica, como demuestra el teorema de adición, se puede sintetizar en:

${\displaystyle \coth(\alpha +\beta )={\frac {1+\coth \alpha \,\coth \beta }{\coth \alpha +\coth \beta }}}$

Véase también

• Trigonometría
• Identidad trigonométrica