Tangente hiperbólica

La tangente hiperbólica de un número real ${\displaystyle x}$ se designa mediante ${\displaystyle \tanh x}$ y se define como el cociente entre el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico del número real ${\displaystyle x}$.^[1]

tangente hiperbólica
Gráfica de tangente hiperbólica
Definición	${\displaystyle \tanh x\,}$
Tipo	Función real
Dominio	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$
Codominio	${\displaystyle (-1,1)\,}$
Imagen	${\displaystyle (-1,1)\,}$
Propiedades	Biyectiva en el codominio Impar Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\displaystyle {\frac {1}{\cosh ^{2}x}}}$
Función primitiva	${\displaystyle \ln(\cosh x)\,}$
Función inversa	${\displaystyle \operatorname {argtanh} x}$
Límites	${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\tanh x=-1\,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\tanh x=1\,}$
Funciones relacionadas	Seno hiperbólico Coseno hiperbólico
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La fórmula es entonces

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {\sinh x}{\cosh x}}}$

Si se sustituye de acuerdo con las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico, se obtiene una fórmula más directa para la tangente hiperbólica, a saber:

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$

Derivada

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\,\mathrm {tanh} ^{2}x}$

Inversa

${\displaystyle {\mbox{arg tanh }}x=\ln \left({\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$

Véase también

• Trigonometría