N-esfera

En matemáticas, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, denotada en general como ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$. Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Vista alámbrica de una 2-esfera como un operador de proyección

Así como una proyección estereográfica puede representar la superficie de una esfera en un plano, también se puede proyectar una 3-esfera en el espacio tridimensional. Esta imagen muestra las tres direcciones de coordenadas proyectadas en el espacio tridimensional: paralelos (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Debido a la propiedad de conformidad de la proyección estereográfica, las curvas se cruzan entre sí ortogonalmente (en los puntos amarillos) al igual que en 4D. Todas las curvas son circunferencias: las curvas que intersecan ⟨0,0,0,1⟩ tienen un radio infinito (se proyectan como líneas rectas)

Desde un punto de vista analítico, una n-esfera es un espacio topológico que es homeomorfo a una n-esfera estándar, que es el conjunto de puntos en un espacio euclídeo (n+1)-dimensional que se encuentran a una distancia constante r respecto a un punto fijo, llamado centro. Cuando la esfera tiene un radio unidad, es habitual llamarla n-esfera unidad, o simplemente n-esfera por brevedad. En términos de la norma estándar, una n-esfera se define como

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},}$

y una n-esfera de radio r se puede definir como

${\displaystyle S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.}$

La 0-esfera es un par de puntos sobre una recta a una unidad de distancia del origen, la 1-esfera es una circunferencia en el plano y la 2-esfera es una esfera ordinaria dentro del espacio tridimensional.

La dimensión de una n-esfera es n, y no debe confundirse con la dimensión (n+1) del espacio euclídeo en el que queda naturalmente embebida. Una n-esfera es la superficie o límite de una bola (n+1) dimensional.

En particular:

• El par de puntos en los extremos de un segmento (unidimensional) es una 0-esfera
• Un circunferencia, que es el contorno unidimensional de un círculo (bidimensional), es una 1-esfera
• La superficie bidimensional de una bola (tridimensional) en un espacio tridimensional es una 2-esfera, a menudo simplemente llamada esfera
• La frontera tridimensional de una 4-bola (cuatro dimensiones) en el espacio euclídeo tetradimensional, es un 3-esfera, también conocida como glomo
• El límite (n–1)-dimensional de una n-bola (n-dimensional) es una (n–1)-esfera.

Para n≥2, las n-esferas que son variedades diferenciables pueden caracterizarse (hasta un difeomorfismo) como variedades n-dimensionales conexas de curvatura constante y positiva. Las n-esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, se pueden construir pegando dos espacios euclídeos n-dimensionales, identificando el límite de un n-cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de una (n-1)-esfera. La 1-esfera es la 1-variedad que es una circunferencia, que no es simplemente conexa. La 0-esfera es la 0-variedad que consta de dos puntos, que ni siquiera es conexa.

Definición

Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.

La n+1-tupla de puntos (x₁,x₂,…,x_n+1) que están en una n-esfera (Sⁿ) se representa con la ecuación:

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n+1}^{2}=R^{2}~}$,

donde el centro es el origen de coordenadas O (0,0,...,0).^[1] Teniendo como datos un punto fijo ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,}$ llamado centro y el radio R, real positivo, siendo ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,}$ un punto cualquiera de la hiperesfera, la ecuación correspondiente es,^[2][3]

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-p_{1})^{2}+(x_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-p_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p_{i})^{2}}}=R.}$

o escrito en forma vectorial, como:

${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|=R}$

Descripción

Para cualquier número natural n, una n-esfera de radio r se define como el conjunto de puntos en el espacio euclídeo (n+1)-dimensional que están a una distancia r de un punto fijo c, donde r puede ser cualquier número real positivo y donde c puede ser cualquier punto en el espacio (n+1) dimensional. En particular:

• Una 0-esfera es un par de puntos {c − r, c + r}, y es el límite de un segmento recto (1-bola)
• Una 1-esfera es una circunferencia de radio r centrada en c, y es el límite de un disco (2-bola)
• Una 2-esfera es un esfera bidimensional ordinaria en un espacio euclídeo tridimensional, y es el límite de una bola ordinaria (3-bola)
• Una 3-esfera es una esfera tridimensional en un espacio euclídeo de 4 dimensiones

Coordenadas euclídeas en el (n+1)-espacio

El conjunto de puntos en el espacio (n+1), (x₁, x₂, ..., x_n+1), que definen una n-esfera, ${\displaystyle S^{n}(r)}$, está representado por la ecuación:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}\left(x_{i}-c_{i}\right)^{2}}$

donde c = (c₁, c₂, ..., c_n+1) es un punto central y r es el radio.

La n-esfera anterior existe en el espacio euclídeo (n+1)-dimensional y es un ejemplo de n-variedad. La forma de volumen ω de una n-esfera de radio r viene dada por

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}$

donde ∗ es el dual de Hodge; véase Flanders (1989, §6.1) para una discusión y prueba de esta fórmula en el caso r = 1. Como resultado,

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

n-bola

Artículo principal: Bola (matemática)

El espacio encerrado por una n-esfera se llama (n+1)-bola. Una (n+1)-bola es cerrada si incluye la n-esfera, y es abierta si no incluye la n-esfera.

Específicamente:

• Una 1-bola, un segmento, es el interior de una 0-esfera
• Una 2-bola, un círculo, es el interior de una circunferencia (1-esfera)
• Una 3-bola, una bola ordinaria, es el interior de una esfera (2-esfera)
• Una 4-bola es el interior de una 3-esfera, y así sucesivamente

Descripción topológica

Topológicamente, una n-esfera se puede construir como una compactación en un punto del espacio euclídeo n-dimensional. Brevemente, la n-esfera puede describirse como Sⁿ = Rⁿ ∪ {∞}, que es un espacio euclídeo n-dimensional más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones. En particular, si se elimina un único punto de una n-esfera, se convierte en homeomórfica a Rⁿ. Esta circunstancia sustenta la base de la proyección estereográfica.^[4]