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Vector (matemáticas y física)
elemento de un espacio vectorial / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
En matemáticas, un vector es un objeto que generaliza varias nociones provenientes de la geometría (como pares de puntos o traslaciones), del álgebra (como la solución de un sistema de ecuaciones con varias incógnitas), o de la física (donde se usa para representar entre otras magnitudes velocidades, aceleraciones o fuerzas).
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Rigurosamente axiomatizada, la noción de vector es la base de la rama de las matemáticas llamada álgebra lineal. En este sentido, un vector es un elemento de un espacio vectorial, es decir, que se pueden realizar las operaciones de adición y de multiplicación escalar (por un número), y que estas operaciones tienen las propiedades exigibles en un espacio vectorial. Por ejemplo un par o una tupla de números reales se puede ver como un vector (la suma y el producto por un número real se hacen componente a componente).
En geometría euclídea, dados dos puntos A y B, el vector representa una traslación que asocia el punto B con el punto A. Por lo tanto, pares de puntos diferentes pueden corresponder al mismo vector. La suma (véase la relación de Chasles) y la multiplicación se definen geométricamente.
Los vectores se representan frecuentemente como simples tuplas o, gráficamente, en el caso particular de espacios de 1, 2 o 3 dimensiones, mediante flechas: esta representación proviene de la combinación de las nociones de pares de puntos de la geometría euclídea (que permiten definir distancias, pero también direcciones y orientaciones), y las posibilidades de cálculo que ofrece el álgebra. Esto permite dar significado a vectores definidos en dos dimensiones (el plano) y en tres dimensiones (el espacio euclídeo habitual), pero más generalmente en espacios de cualquier dimensión.
En física, los vectores se utilizan ampliamente y permiten modelar magnitudes como fuerzas, velocidades, aceleraciones, cantidades de movimiento o ciertos campos (como el campo eléctrico, el campo magnético o el campo gravitatorio). Una magnitud vectorial se contrapone a una magnitud escalar: la magnitud escalar solo tiene un valor pero no tiene dirección ni sentido.
Estas nociones de campos, y los operadores que permiten calcularlos, llevaron a la definición, en álgebra multilineal, de la noción de campo vectorial, es decir, una función de ℝn en ℝn. Entonces, por ejemplo, resolver una ecuación diferencial significa determinar las curvas a las que los vectores de campo son tangentes.
Aún más en general, los vectores son casos especiales de tensores (se identifican con tensores de orden 1). Los tensores de orden 2 están representados por matrices, y las matrices de un aplicación lineal que transforman los vectores en funciones lineales constituyen una forma particular de vectores, también llamados bivectores.