Teorema fundamental de la aritmética
De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos. Por ejemplo,
No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en términos de números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.
El teorema dice dos cosas sobre este ejemplo: primero, que 1200 puede representarse como un producto de primos, y segundo, que no importa cómo se haga, siempre habrá exactamente cuatro 2, un 3, dos 5 y ningún otro primo en el producto.
El requisito de que los factores sean primos es necesario: las factorizaciones que contienen número compuestos pueden no ser únicas (por ejemplo, ).
Este teorema es una de las principales razones por las que 1 no se considera un número primo: si 1 fuera primo, entonces la factorización en primos no sería única; por ejemplo, .
El teorema se generaliza a otras estructuras algebraicas que se denominan dominio de factorización única e incluyen dominios de ideales principales, dominios euclídeos y anillos polinómicos sobre un campo. Sin embargo, el teorema no se cumple para enteros algebraicos.[3] Este fallo de la factorización única es una de las razones de la dificultad de la demostración del último teorema de Fermat. El uso implícito de la factorización única en anillos de enteros algebraicos está detrás del error de muchas de las numerosas pruebas falsas que se han escrito durante los 358 años transcurridos entre la afirmación de Fermat y la de Andrew Wiles.