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valor de centralización característico de una serie de datos cuantitativos De Wikipedia, la enciclopedia libre
La media aritmética es un concepto matemático usado en estadística. También llamada promedio o simplemente media, se obtiene con la suma de un conjunto de valores dividida entre el número total de sumandos.
Además de en matemáticas y estadística, la media aritmética se utiliza con frecuencia en economía, antropología, historia y en casi todos los campos académicos en cierta medida. Por ejemplo, la renta per cápita es la renta media aritmética de la población de un país.
Aunque la media aritmética se utiliza a menudo para informar de la tendencias centrales, no es una estadística robusta: está muy influida por los valores atípicos (valores mucho mayores o menores que la mayoría de los demás). En las distribuciones asimétricas, como la distribución de la renta, en la que los ingresos de unas pocas personas son muy superiores a los de la mayoría, la media aritmética puede no coincidir con la noción de "medio". En ese caso, los estadísticos robustos, como la mediana, pueden proporcionar una mejor descripción de la tendencia central.
Dados los n números , la media aritmética se define como:
Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:
Se utiliza la letra x con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra (), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.
En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido entre n, donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos que da el resultado.
Si el conjunto de datos es una población estadística (es decir, consta de todas las observaciones posibles y no sólo de un subconjunto de ellas), entonces la media de esa población se denomina media poblacional y se denota por el letra griega . Si el conjunto de datos es una muestra estadística (un subconjunto de la población), se denomina media muestral (que para un conjunto de datos se denota como ).
La media aritmética puede definirse de forma similar para vectores en múltiples dimensiones, no sólo para valores escalares; a menudo se denomina centroide. En términos más generales, debido a que la media aritmética es una combinación convexa (lo que significa que sus coeficientes suman ), se puede definir en un espacio convexo, no sólo en un espacio vectorial.
Si existe una integral de alguna función de una variable, entonces la media aritmética de esa función en el intervalo se define por integral definida:
Aquí, para definir el segmento implica que con por lo que el denominador no es 0.
Un conjunto de datos transformado linealmente puede obtenerse aplicando el mapeo lineal al conjunto de datos escalable métricamente de la siguiente manera: . Entonces el nuevo valor medio del conjunto de datos será , ya que .
En otros términos hay por lo menos un dato que es mayor o igual que la media aritmética.
Por ejemplo, es fácil deducir que en una reunión de 38 individuos hay necesariamente al menos 4 que nacieron el mismo mes. El promedio de individuos que nacieron por mes es 38/12 ≈ 3,167. Luego en algún mes nacieron en una cantidad entera y mayor o igual que el promedio, o sea 4 ≥ 3,167.[1]
La media aritmética tiene varias propiedades que la hacen interesante, especialmente como medida de tendencia central. Entre ellas se encuentran:
La media aritmética puede contrastarse con la mediana. La mediana se define de tal manera que no más de la mitad de los valores son mayores, y no más de la mitad son menores que ella. Si los elementos de los datos incrementan aritméticamente cuando se colocan en algún orden, entonces la mediana y la media aritmética son iguales. Por ejemplo, considere la muestra de datos . La media es , al igual que la mediana. Sin embargo, cuando consideramos una muestra que no puede ordenarse para que aumente aritméticamente, como , la mediana y la media aritmética pueden diferir significativamente. En este caso, la media aritmética es , mientras que la mediana es . El valor medio puede variar considerablemente de la mayoría de los valores de la muestra y puede ser mayor o menor que la mayoría.
Existen aplicaciones de este fenómeno en muchos campos. Por ejemplo, desde la década de 1980, la mediana de los ingresos en Estados Unidos ha aumentado más lentamente que la media aritmética de los ingresos.[3]
Una media ponderada, o promedio ponderado, es un promedio en el que algunos puntos de datos cuentan más que otros en el sentido de que se les da más peso en el cálculo.[4] Por ejemplo, la media aritmética de y es , o equivalentemente . Por el contrario, una media ponderada en la que el primer número recibe, por ejemplo, el doble de peso que el segundo (quizás porque se supone que aparece el doble de veces en la población general de la que se extrajeron estos números) se calcularía como . Aquí los pesos, que necesariamente suman uno, son y , siendo el primero el doble del segundo. La media aritmética (a veces llamada "media no ponderada" o "media igualmente ponderada") puede interpretarse como un caso especial de una media ponderada en la que todos los pesos son iguales al mismo número ( en el ejemplo anterior y en una situación con números que se promedian).
Si una propiedad numérica, y cualquier muestra de datos de la misma, puede tomar cualquier valor de un rango continuo en lugar de, por ejemplo, sólo números enteros, entonces la probabilidad de que un número caiga en algún rango de valores posibles puede describirse integrando una distribución de probabilidad continua a través de este rango, incluso cuando la probabilidad ingenua de que un número de la muestra tome un valor determinado de entre infinitos sea cero. En este contexto, el análogo de una media ponderada, en la que hay infinitas posibilidades para el valor preciso de la variable en cada rango, se denomina media de la distribución de probabilidad. La distribución de probabilidad más extendida se denomina distribución normal; tiene la propiedad de que todas las medidas de su tendencia central, incluyendo no sólo la media, sino también la mediana mencionada anteriormente y la moda (las tres M[5]), son iguales. Esta igualdad no se cumple para otras distribuciones de probabilidad, como se ilustra aquí para la distribución log-normal.
Hay que tener especial cuidado cuando se utilizan datos cíclicos, como fases o ángulos. Tomando la media aritmética de 1° y 359° se obtiene un resultado de 180°. Esto es incorrecto por dos razones:
En la aplicación general, un descuido de este tipo hará que el valor medio se desplace artificialmente hacia la mitad del intervalo numérico. Una solución a este problema es utilizar la formulación de optimización (es decir, definir la media como el punto central: el punto en torno al cual se tiene la menor dispersión) y redefinir la diferencia como una distancia modular (es decir, la distancia en el círculo: así, la distancia modular entre 1° y 359° es 2°, no 358°).
La media aritmética suele denotarse mediante una barra (vinculum o macron), como en .[2] Es posible que algunos programas (procesadores de texto, navegadores webs) no muestren correctamente el símbolo "x̄". Por ejemplo, el símbolo HTML "x̄" combina dos códigos: la letra base "x" más un código para la línea superior (̄ o ¯).[6]
En algunos formatos de documento (como PDF), el símbolo puede ser sustituido por un símbolo "¢" (cent) cuando se copia en un procesador de texto como Microsoft Word.
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