Involución (matemática)

En matemática, una involución o función involutiva es una función matemática que es su propia inversa:

Una involución es una función del tipo: ${\displaystyle f:X\to X}$ que aplicada dos veces regresa al dato inicial.

Definida la función:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&A&\longrightarrow &A\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}$

Esta función cumple la propiedad involutiva si:

${\displaystyle \forall x\in A\;:\quad f(f(x))=x}$

para todo x de A, se cumple que la función de la función de x es x.

O, de otra manera:

${\displaystyle f(x)=y\,}$ ;

${\displaystyle f(y)=x\,}$

Propiedades

Toda involución es una aplicación biyectiva. La función identidad es un ejemplo trivial de involución:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}id:&A&\longrightarrow &A\\&a&\longmapsto &b=id(a)\quad \equiv \quad b=a\end{array}}}$

esto es:

${\displaystyle \forall a\in A\;:\quad id(id(a))=a}$

para todo a de A, se cumple que la identidad de la identidad de a es a.

El número de involuciones existentes en un conjunto de n elementos viene dado por la siguiente relación de recurrencia:

${\displaystyle a_{0}=a_{1}=1\,}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n-1)\,a_{n-2}\quad (si\quad n>1)}$

Los primeros términos de esta secuencia son 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, etc.^[1]

Ejemplos

Ejemplos sencillos son la multiplicación por −1 un número real:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&R&\longrightarrow &R\\&x&\longmapsto &y=-x\end{array}}}$

dado que:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \;:\quad -(-x)=x}$

Para todo x número real, se cumple que el opuesto del opuesto de x es x.

El inverso multiplicativo de números reales sin el cero:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&R^{*}&\longrightarrow &R^{*}\\&x&\longmapsto &y={\cfrac {1}{x}}\end{array}}}$

si vemos que:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}\;:\quad {\cfrac {1}{\cfrac {1}{x}}}=x}$

El complemento de un conjunto en teoría de conjuntos:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{}^{c}:&\mathbb {U} &\longrightarrow &\mathbb {U} \\&A&\longmapsto &B=A^{c}\end{array}}}$

dado que:

${\displaystyle \forall A\in \mathbb {U} \;:\quad {(A^{c})}^{c}=A}$

Los complejos conjugados (${\displaystyle {\bar {z}}}$) en variable compleja; la inversión geométrica; y cifrados como el ROT13 y el de Trithemius.

Véase también

• Función biyectiva
• Identidad
• Automorfismo

Fuentes y referencias

1. A000085

• Todd A. Ell; Stephen J. Sangwine (2007), «Quaternion involutions and anti-involutions», Computers & Mathematics with Applications 53 (1): 137-143, doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029 La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coauthors= (ayuda)..

• Datos: Q846862