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En matemáticas, el conjugado de un número complejo, se obtiene cambiando el signo de su componente imaginaria. Por lo tanto, el conjugado de un número complejo[1]
(donde y son números reales) es
El conjugado es a menudo indicado como . Aquí, se utiliza la notación para evitar confusiones con la notación utilizada para indicar la transpuesta conjugada de una matriz (que puede pensarse como una generalización del conjugado de un número). (Notar además que, en la representación de números complejos como matrices reales , trasponer equivale a conjugar.)
Por ejemplo,
Los números complejos pueden ser representados como puntos en un plano con un sistema de coordenadas cartesianas. El eje contiene los números reales y el eje contiene los múltiplos de (la unidad imaginaria). Por lo tanto, en esta representación el conjugado de un número corresponde a su reflexión sobre el eje x.[1]
Sin embargo, en forma polar, el conjugado de queda determinado por . Lo cual se puede verificar fácilmente aplicando la fórmula de Euler.
Los pares formados por un número y su conjugado son importantes ya que la unidad imaginaria es indistinta de su inversa aditiva y multiplicativa , ya que ambas satisfacen la definición de la unidad imaginaria: . Lo más común es que, si un número complejo es solución de un problema, también su conjugado lo es, esto se verifica por ejemplo en las soluciones complejas de la fórmula cuadrática con coeficientes reales.
Estas propiedades se aplican a todos los números complejos y ,[1] a menos que se indique lo contrario.
- si es distinto de cero
- si y solo si es real, caracterización de un complejo real
- para todo entero
- , un número complejo y su conjugado tiene igual norma.
- si es distinto de cero
- ≠ si ≠
- El conjugado del complejo z, geométricamente, es un vector simétrico del vector z, respecto al eje OX.
- Si entonces
- El conjugado de la derivada es igual a la derivada del conjugado.
La fórmula (9) es el método normalmente utilizado para encontrar el inverso de un número complejo si el número está expresado en coordenadas rectangulares.
La noción de número conjugado puede extenderse a los números hipercomplejos. Por ejemplo para un hipercomplejo (cuaternión ) se tiene:
Puede verse que la operación unitaria[2] de conjugación hipercompleja es el único automorfismo que deja invariante el subconjunto de los números reales diferente de la identidad. Las mismas propiedades, que valen para la conjugación de números complejos, se cumplen para la conjugación de números hipercomplejos.
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