Homeomorfismo
función biyectiva, continua y de inversa continua, de un espacio topológico a otro / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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En topología, un homeomorfismo (del griego ὅμοιος (homoios) = ‘misma’ y μορφή (morphē) = ‘forma’) es una función de un espacio topológico a otro, que satisface tres condiciones: es biyectiva, es continua y su inversa también es continua. En tal caso se dice que los dos espacios, el de partida y el de llegada, son homeomorfos. Cuando dos espacios topológicos son homeomorfos, los conjuntos abiertos de ambos espacios están en correspondencia biyectiva, por lo que la estructura topológica de ambos es idéntica. Las propiedades que se conservan bajo homeomorfismos, que por tanto son intrínsecas de dicha estructura, se denominan propiedades topológicas o invariantes topológicos.[1]
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De modo intuitivo, dos espacios son homeomorfos cuando uno de ellos puede «deformarse sin romperse» hasta obtener el otro. Por ejemplo, Un cubo y una esfera son sólidos homeomorfos. A diferencia de la geometría euclidiana, que estudia las propiedades de los espacios que son invariantes bajo movimientos rígidos, la forma o las distancias no son relevantes desde el punto de vista de la topología.[2] En cambio, la topología estudia la relación de vecindad entre unos puntos y otros: cuestiones como la separación, la conectividad o la compacidad, entre otras muchas. Sin embargo, no todas las transformaciones continuas preservan estas propiedades; por ejemplo, un segmento de recta se puede deformar continuamente hasta un único punto, pero al hacerlo se alteran propiedades del espacio. Dicha transformación, en efecto, no es invertible y por tanto no es un homeomorfismo.[3]
En la categoría de espacios topológicos, los morfismos son las funciones continuas y los isomorfismos son los homeomorfismos. La inversa de un homeomorfismo y la composición de dos homeomorfismos son a su vez homeomorfismos. En consecuencia, el conjunto de todos los homeomorfismos de un espacio topológico en sí mismo forman un grupo llamado grupo de homeomorfismos de
, que se denota como
.