Grafo de Reeb

Un gráfico de Reeb^[1] (nombrado así en referencia a Georges Reeb por René Thom) es un objeto matemático que refleja la evolución del conjunto de nivel de una función de valor real en una variedad diferenciable.^[2]

Gráfico de Reeb de la función altura en un toro.

De acuerdo con un concepto similar,^[3] fue introducido por G.M. Adelson-Velskii y A.S. Kronrod para aplicarlo al análisis del problema treinta de Hilbert.^[4] Propuestos por G. Reeb como herramienta en la teoría de Morse,^[5] los gráficos de Reeb encontraron una amplia variedad de aplicaciones en geometría computacional y computación gráfica^[6][7] y han sido profusamente utilizados en el diseño asistido por computadora, en la topología basada en la identificación de formas^[8][9][10] topological data analysis,^[11] en la simplificación y limpieza topológica, en la segmentación y parametrización de superficies, en el cálculo eficiente de conjuntos de niveles y en termodinámica.^[3]

En el caso especial de las funciones de contorno en el plano, el gráfico de Reeb forma un poliárbol y también se denomina árbol de contorno.^[12]

Definición formal

Dado un espacio topológico X y un función continua f :  X  →  'R' , defina un relación de equivalencia ~ en X donde p~q siempre que p y q pertenezcan al mismo connected component de un solo conjunto de nivel f^-1 ( c ) para alguna 'c' real '. El 'gráfico Reeb' es el quotient space X  / ~ dotado de la topología del cociente.

Descripción para las funciones de Morse

Si f es un función de Morse con distintos valores críticos, el gráfico de Reeb se puede describir más explícitamente. Sus nodos, o vértices, corresponden a los conjuntos de niveles críticos f^-1(c). El patrón en el que los arcos o bordes se encuentran en los nodos/vértices reflejan el cambio en la topología del conjunto de niveles f^-1(t) a medida que t pasa por el valor crítico c. Por ejemplo, si c es un mínimo o un máximo de f, se crea o destruye un componente; en consecuencia, un arco se origina o termina en el nodo correspondiente, que tiene grado 1. Si c es un punto de silla de índice 1 y dos componentes de f^-1(t) se fusionan en t = c, como t aumenta, el vértice correspondiente del gráfico de Reeb tiene grado 3 y se parece a la letra "Y"; el mismo razonamiento se aplica si el índice de c es débil X-1 y un componente de f^-1 (c) se divide en dos.