Función beta

En matemáticas, la función beta,^[1] también llamada integral de Euler de primer orden, es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma y los coeficientes binomiales. Está definida como la integral

\beta (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt

para $x,y\in \mathbb {C}$ tales que ${\text{Re}}(x)>0$ y ${\text{Re}}(y)>0$ .

La función beta fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.

La función beta es simétrica, esto es

\beta (x,y)=\beta (y,x)

para toda $x$ y $y$ .

La función beta se relaciona con la función gamma mediante

\beta (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}

La función beta también está relacionada con los coeficientes binomiales. Si $x,y\in \mathbb {Z} ^{+}$ entonces de la propiedad anterior se sigue que

\beta (x,y)={\frac {(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}}={\frac {x+y}{xy{\binom {x+y}{x}}}}

Para verificar que se cumple la identidad

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}

consideremos el producto de dos factoriales

{\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }u^{x-1}e^{-u}du\int _{v=0}^{\infty }v^{y-1}e^{-v}dv\\&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }u^{x-1}v^{y-1}e^{-u-v}dudv\end{aligned}}

Haciendo el cambio de variables $u=zt$ y $v=z(1-t)$ se obtiene

{\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}zdtdz\\&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}dz\int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\\&=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y)\end{aligned}}

Dividiendo ambos lados de la igualdad entre $\Gamma (x+y)$ se obtiene el resultado deseado.

Tenemos que la derivada de la función beta pueden expresarse en términos de la función digamma y las función poligamma pues

{\partial  \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))

donde $\psi (x)$ es la función digamma.

La integral que define a la función beta puede ser escrita de distintas formas, incluyendo las siguientes

{\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&=2\int _{0}^{\pi /2}(\operatorname {sen} \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}d\theta \\&=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt\\&=n\int _{0}^{1}t^{nx-1}(1-t^{n})^{y-1}dt\end{aligned}}

donde en la última identidad $n\in \mathbb {R} ^{+}$ . (Uno puede pasar de la primera identidad a la segunda haciendo el cambio de variable $t=\tan ^{2}(\theta )$ ).

La función beta puede ser escrita como una suma infinita como

\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {n-y}{n}}{x+n}}

y como un producto infinito como

\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}

Dado que $\Gamma (1)=1$ , se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que

\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\pi =\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{2}}\right)

de donde $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$ .

Supongamos que $n$ es un entero no negativo y queremos calcular

\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{n}(t)dt

Entonces podemos^[2]

\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{n}(t)\,dt=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2(n+1)/2-1}(t)\,\operatorname {sen} ^{2(1/2)-1}(t)dt={\frac {1}{2}}\,\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).

Usando la segunda propiedad de la función beta, tenemos

\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}

De manera que

\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{n}(t)\,dt={\frac {{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{2k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}}&\ \mathrm {si} \ n=2k+1;\\\displaystyle {\frac {\pi \,(2k)!}{2^{2k+1}(k!)^{2}}}&\ \mathrm {si} \ n=2k.\end{cases}}

La función beta incompleta es una generalización de la función beta, se define como

\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt

Para $x=1$ , la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación existente entre las dos funciones es como la que hay entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta.

La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) está definida en términos de la función beta incompleta y de la función beta completa:

I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}

La función beta regularizada es la función de distribución acumulada de la distribución beta y está relacionada con la función de distribución acumulada de una variable aleatoria $X$ con distribución binomial con parámetros $n$ y $p$ como

F(x)=\operatorname {P} [X\leq x]=I_{1-p}(n-x,x+1)=1-I_{p}(x+1,n-x)

Propiedades

{\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\end{aligned}}

La función beta puede extenderse a una función con más de dos argumentos como

\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}

Esta función beta multivariada es usada en la distribución de Dirichlet.

[1]
Llamada también funcón beta de Euler o integral de Euler de primera especie
[2]
Este resultado es válido, aun si se considera a $n$ como un número complejo cuya parte real es mayor que -1