Espacio T1

En topología un espacio T₁ o de Fréchet es un caso particular de espacio topológico.

Axiomas de separación en espacios topológicos
T0
T1
T2
T2½
completamente T2
T3
T3½
T4
T5
T6

Definición

Un espacio topológico ${\displaystyle E}$ es ${\displaystyle T_{1}}$ si para cada pareja de elementos distintos ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle E}$ existe un abierto que contiene a ${\displaystyle x}$ y no a ${\displaystyle y}$. Esto claramente implica que también existe un abierto que contiene a ${\displaystyle y}$ y no a ${\displaystyle x}$, ya que también se cumple para la pareja ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x}$. Por tanto, también se suele definir como un espacio topológico tal que para cada pareja de elementos distintos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle E}$ existe un abierto que contiene a ${\displaystyle x}$ y no a ${\displaystyle y}$ y también existe un abierto que contiene a ${\displaystyle y}$ y no a ${\displaystyle x}$

Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, sería un espacio de Hausdorff o ${\displaystyle T_{2}}$).

Propiedades

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio topológico. Son equivalentes:

• ${\displaystyle X}$ es un espacio ${\displaystyle T_{1}}$.
• ${\displaystyle X}$ es un espacio ${\displaystyle T_{0}}$ y un espacio ${\displaystyle R_{0}}$.
• Para cada ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \{x\}}$ es cerrado.
• Todo conjunto de un único punto es la intersección de sus entornos.
• Todo subconjunto de ${\displaystyle X}$ es la intersección de sus entornos.
• Todo suconjunto finito de ${\displaystyle X}$ es cerrado.
• Todo subconjunto cofinito de ${\displaystyle X}$ es abierto.
• El ultrafiltro principal de ${\displaystyle x}$ converge solamente a ${\displaystyle x}$.
• Para cada punto ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ y todo subcojunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle x}$ es un punto límite de ${\displaystyle S}$ si y solo sí es un punto de acumulación de ${\displaystyle S}$.

La propiedad de ser T₁ es hereditaria, es decir, los subespacios de un T₁ es también T₁.^[1]

Nota y casos

• Sea (ℕ, T) donde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A y ℕ - A es finito}. Entonces T es una estructura topológica sobre ℕ, llamada estructura topológica cofinita que es T1 pero no T2.^[2]

• Cualquier espacio T1 finito es un espacio topológico discreto.^[3]

• Sea ${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$ con la topología formada por los subconjuntos de ${\displaystyle X}$ siguientes: ${\displaystyle \emptyset }$, ${\displaystyle \{b\}}$, ${\displaystyle \{a,b\}}$, ${\displaystyle \{b,c\}}$, ${\displaystyle X}$. No es T₁ ya que ${\displaystyle \{b\}}$ no es cerrado.^[4]

Teorema

Un espacio topológico es T₁ si y solo si cada punto es un conjunto cerrado.^[3][5]

Ejemplos

• La topología cofinita sobre un conjunto infinito es T₁ pero no T₂.^[6]
• El espacio topológico de Sierpinski es T₀ pero no es T₁.^[7]