Envolvente convexa

En matemáticas se define la envolvente convexa, envoltura convexa o cápsula convexa de un conjunto de puntos X de dimensión n como la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a X.^[1]

Envoltura convexa de un conjunto de 8 puntos en el plano.

Dados k puntos ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,...,x_{k}}$ su envolvente convexa C viene dada por la expresión:

${\displaystyle C(X)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\ {\Bigg |}\ x_{i}\in X,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\alpha _{i}\geq 0\,,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}}$

En el caso particular de puntos en un plano, si no todos los puntos están alineados, entonces su envolvente convexa corresponde a un polígono convexo cuyos vértices son algunos de los puntos del conjunto inicial de puntos.

Una forma intuitiva de ver la envolvente convexa de un conjunto de puntos en el plano, es imaginar una banda elástica estirada que los encierra a todos. Cuando se libere la banda elástica tomará la forma de la envolvente convexa.

Alternativamente

La unión de todas las combinaciones convexas de conjuntos finitos de puntos de ${\displaystyle A\subset R^{n}}$ se denomina cápsula convexa de ${\displaystyle A}$.^[2]

Teorema de Carathéodory

La cápsula convexa de un conjunto coincide con la unión de todas las combinaciones convexas posibles de subconjuntos finitos del conjunto ${\displaystyle A\subset R^{n}}$ que tienen a lo más ${\displaystyle n+1}$ puntos.^[2]

Cálculo de la envolvente convexa

En geometría computacional existen numerosos algoritmos para calcular la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos, con diversos grados de complejidad computacional. La complejidad del algoritmo de resolución se suele estimar en función del número n de puntos de entrada, y el número h de puntos de la correspondiente envolvente convexa.

Algoritmos para el cálculo de la envolvente convexa en el plano

• Jarvis march o gift wrapping algorithm: Propuesto por R. A. Jarvis en 1973. Es uno de los más simples y posee una complejidad computacional O(nh). En el peor de los casos su complejidad será O(n²).
• Método de Graham: Publicado en 1972, es mucho más eficiente y posee una complejidad computacional O(n log n). Si los puntos se encuentran pre-ordenados por una de las coordenadas o por el ángulo a un vector fijo entonces la complejidad es O(n).
• Quickhull: Un método recursivo creado de forma independiente en 1977 por W. Eddy y A. Bykat. Tiene una complejidad esperada O(n log n), pero que puede degenerar a O(n^2) en el peor caso.
• Divide y vencerás (Divide and conquer): Otro algoritmo de complejidad O(n log n) publicado en 1977 por Franco P. Preparata y Hong. También es aplicable al caso tridimensional.^[3]

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «envolvente convexa». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
2. Boss, V. (2011). Álgebra lineal. Moscú: Editorial URSS. ISBN 978-5-396-00066-7.
3. Preparata, Franco P.; Hong, S.J. (1977). «Convex hulls of finite sets of points in two and three dimensions». Communications of the ACM 20 (2). doi:10.1145/359423.359430.

Véase también

Convexidad

• Datos: Q1138624