Casquete esférico

Un casquete esférico, en geometría, es la parte de una esfera cortada por un plano. Si dicho plano pasa por el centro de la esfera, la altura del casquete es igual al radio de la esfera, y el casquete esférico será un hemisferio (semiesfera).

El casquete esférico es la sección superior (de color púrpura).

Modelo 3D de un casquete esférico.

Superficie y volumen

Si el radio de la esfera es ${\displaystyle r\,}$, el radio de la base del casquete ${\displaystyle a\,}$, y la altura del casquete ${\displaystyle h\,}$, el área de la superficie curva del casquete esférico es:^[1][2][3]

${\displaystyle A_{c}=2\pi rh\,}$

el radio de la esfera se lo puede relacionar con el radio de la base del casquete y con la altura de este a través del teorema de Pitágoras:

${\displaystyle (r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}\,}$

${\displaystyle r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}=r^{2}\,}$

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}$

reemplazando esto en la fórmula anterior del área se obtiene otra fórmula en función de ${\displaystyle a\,}$ y ${\displaystyle h\,}$.

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})\,}$

El volumen del casquete esférico es:^[2][3]

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2})}$

Otra expresión para hallar el volumen del casquete esférico, en función del radio de la esfera y de la altura del casquete, es:

${\displaystyle V_{c}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

Demostración

Las fórmulas anteriores salen por medio de cálculo de volúmenes utilizando integrales definidas. A partir del Teorema de Pitágoras, obtenemos que:

${\displaystyle (r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}\,}$

De ahí se puede calcular explícitamente a y aplicando el método de los discos (véase sólido de revolución), se obtiene:

${\displaystyle \int \pi a^{2}\,dh=V_{c}}$

π sale de la integral ya que es una constante, y resolviendo el producto notable queda:

${\displaystyle V_{c}=\pi \int (2rh-h^{2})\,dh=\pi \left(rh^{2}-{\frac {h^{3}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)}$

Véase también

• Segmento circular – análogo bidimensional
• Corona esférica

Referencias

1. mathforum.org
2. Sapiña, R. «Calculadora del área y volumen del casquete esférico». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 25 de junio de 2020.
3. Polyanin, Andrei D; Manzhirov, Alexander V. (2006). CRC Press, ed. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists (en inglés). p. 69. ISBN 9781584885023.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Casquete esférico.
• Weisstein, Eric W. «Casquete esférico». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Calculadora de volumen y área de un casquete esférico
• Formulario de áreas y volúmenes
• Summary of spherical formulae

• Datos: Q575597
• Multimedia: Spherical caps / Q575597