Inversigebla elemento

En matematiko, inversigebla elemento^[1] en ringo estas elemento, kiu havas multiplikan inverson.

La sama nocio (kaj termino) estas aplikebla pli ĝenerale, por ĉia monoido kaj, post teĥnikaj modifoj de la difino (por kompensi foreston de neŭtrala elemento), ankaŭ por pli ĝeneralaj algebraj strukturoj (duongrupoj).

Ĉar la multiplika duongrupo de unuohava ringo estas monoido, inversigeblan elementon de ringo eblas difini kiel inversigeblan elementon de ĝia multiplika monoido.

Difino

Se ${\displaystyle (R,+,0,\cdot ,1)}$ estas ringo, la inverso de elemento ${\displaystyle r}$ estas tia elemento ${\displaystyle s\in R}$, ke

${\displaystyle r\cdot s=s\cdot r=1}$.

Tia elemento estas unika, se ĝi ekzistas, kaj estas skribata ${\displaystyle r^{-1}}$.

Elemento, kies inverso ekzistas, estas inversigebla. Alivorte, s estas inversigebla elemento de la multiplika monoido de R.

En pluraj lingvoj, oni uzas la terminon unuo (angle unit, france unité, germane Einheit), sed ĉi tiu termino estas konfuza, ĉar ĝi estas ankaŭ kutime uzata por nomi la multiplikan neŭtralan elementon 1_R de la ringo R en esprimoj de la tipo unuohava ringo (t.e. 1-hava ringo) aŭ ringo kun unuo kaj ankaŭ, ekzemple, unuomatrico. (Tial iuj aŭtoroj nomas la elementon 1_R "unuaĵo", kaj diras, ke R estas "ringo kun unuaĵo" aŭ "1-hava ringo", sed ne "unuohava ringo" aŭ "ringo kun unuo".)

Grupo de inversigeblaj elementoj

La inversigeblaj elementoj de R konsistigas grupon U(R) sub multipliko, kiu nomiĝas la grupo de inversigeblaj elementoj de R. Por la grupo de inversigeblaj elementoj U(R) oni kelkfoje uzas la notacion R^* aŭ R^×.

En komuta ringo R, la grupo de inversigeblaj elementoj U(R) agas sur R multiplike. La orbitoj de ĉi tiu ago estas nomataj aroj de asociitoj; alivorte, la rilato ${\displaystyle \sim }$ sur R (nomata asocieco) tia, ke

${\displaystyle r\sim s\iff \exists u\in R^{\times }\colon r=us}$

estas ekvivalentrilato.

Rilato inter ringo kaj ties grupo de inversigeblaj elementoj dufinas funktoron el la kategorio de ringoj al la kategorio de grupoj:

${\displaystyle (-)^{\times }\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Grup} }$.

Ĉiu ringa homomorfio f : R → S difinas grupan homomorfion

U(f) : U(R) → U(S),

ĉar ringa homomorfio ĵetas inversigeblajn elementojn al inversigeblaj elementoj. La ĉi-supra funktoro havas maldekstran adjunkton: la entjerkoeficienta grupa ringo

${\displaystyle G\mapsto \mathbb {Z} [G]}$.

Ringo R estas, laŭdifine, korpo, se kaj nur se ĉiu ĝia nenula elemento estas inversigebla:

${\displaystyle R^{\times }=R\setminus \{0\}}$.

Ekzemploj

• En la ringo de entjeroj ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, la inversigeblaj elementoj estas ±1. La asociitoj estas paroj n kaj −n.
• Ĉiu radiko de unu estas inversigebla en ĉiu unuohava ringo R. (Se r estas radiko de unu, kaj rⁿ = 1, tiam r⁻¹ = r^{n − 1} estas ankaŭ ero de R per fermaĵo sub multipliko.) En algebra nombroteorio, la unua teoremo de Dirichlet montras la ekziston de multaj inversigeblaj elementoj en la ringoj de algebraj entjeroj. Ekzemple, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1.
• En la ringo ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}$ de n×n-kvadrataj matricoj super kampo ${\displaystyle K}$, la inversigeblaj elementoj estas precize la inversigeblaj matricoj.

Referencoj

1. Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: invers/ig/ebl/a “ en (unuohava) ringo la inversigeblaj elementoj estas la divizoroj de la unuo.”