Renormuma grupo

En kvantuma kampa teorio kaj statistika fiziko, la renormuma grupo estas matematika ilo priskribi la ŝanĝon en fizikaj fenomenoj ĉe malsamaj skaloj de energio per renormumi la diversajn interagojn kiuj fortiĝas aŭ malfortiĝas tra diversaj skaloj energiaj.

Difino

Konsideru sistemon kun dinamikaj variabloj ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{N}}$ kaj konstantoj ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$ kiuj komplete determinas la dinamikon de la sistemo. Ni klopodu priskribi la sistemon kun malplimulta nombro de variabloj ${\displaystyle {\tilde {x}}_{i}}$ (multfoje, la variabloj observeblaj eĉ ĉe malgranda energia skalo ${\displaystyle {\tilde {\Lambda }}}$) simile al la plena priskribo, escepte de ŝanĝoj de la konstantoj ${\displaystyle \lambda _{1}\mapsto {\tilde {\lambda }}_{1},\dotsc ,\lambda _{k}\mapsto {\tilde {\lambda }}_{k}}$. Se ni sukcesas, do la teorio estas renormumebla. La tiajn transformojn ${\displaystyle \lambda _{i}\mapsto {\tilde {\lambda }}_{i}}$ oni povas komponi; tial la aro de tiaj transformojn formas monoidon (sed, ĝenerale, ne vera grupon, ĉar neŭtriganto ne ĉiame ekzistas). Tiu ĉi monoido nomiĝas la grupo de renormuma — misnomo teknike.

Renormuma grupo de Wilson

Specife, konsideru eŭklida kampteorio

${\displaystyle Z=\int \operatorname {\mathcal {D}} \!\phi \;\exp(-L[\phi ])}$.

Ni restriktu la aron de dinamikaj variabloj el tutaj movokvantaj komponantoj ${\displaystyle \phi (p)}$ al nure komponantoj verigantaj ${\displaystyle |p|<M}$ (kie ${\displaystyle M}$ estas energia skalo) per integrali la komponantojn ${\displaystyle \phi (p)}$ kun ${\displaystyle |p|>M}$:

${\displaystyle Z=\int \operatorname {{\mathcal {D}}_{<M}} \!\phi \int \operatorname {{\mathcal {D}}_{>M}} \!{\hat {\phi }}\;\exp(-L[\phi +{\hat {\phi }}])}$

${\displaystyle =\int \operatorname {{\mathcal {D}}_{<M}} \!\phi \;\exp(-L_{\text{ef}}[\phi ])}$

kie

${\displaystyle L_{\text{ef}}[\phi ]=-\ln \int \operatorname {{\mathcal {D}}_{>M}} \!{\hat {\phi }}\;\exp(-L[\phi +{\hat {\phi }}])}$

nomiĝas la efektiva lagranĝiano (aŭ efektiva ago, se la dimensioj inkluzivas tempon).^[1]

Ekvacio de Callan–Symanzik

La renormuma grupo de Wilson estas simpla koncepte, sed praktike kalkuli uzante ĝin estas malfacile, pro kiu oni uzas la formulado de Callan–Symanzik.

Konsideru teorio kun unu sendimensia kuplokonstanto ${\displaystyle \lambda }$. Konsideru la renormumita ${\displaystyle n}$-punkta funkcio

${\displaystyle G_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\langle 0|{\mathsf {T}}[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})]|0\rangle }$

renormumita simile al la surmasoŝela skemo, sed sur la nefizikaj movokvatoj ${\displaystyle p^{2}=-M^{2}}$.

Observu ke la nuda ${\displaystyle n}$-punkta funkcio

${\displaystyle Z^{n/2}G_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\langle 0|{\mathsf {T}}[\phi _{0}(x_{1})\cdots \phi _{0}(x_{n})]|0\rangle }$

devas ne dependi de la renormuma skemo. Se ni ŝanĝus la renormuman skemon ${\displaystyle M\to M+\delta M}$ infinitezime, do ${\displaystyle G_{n}}$ devus ŝanĝi ankaŭe pro fiksi ${\displaystyle Z^{n/2}G_{n}}$ konstante:

${\displaystyle {\frac {n}{2}}\delta Z/Z+\delta G_{n}=0}$.

Laŭ renormumita perturba teorio, la kalkulo de ${\displaystyle G_{n}}$ dependas nur de la renormumita kuplokonstanto ${\displaystyle \lambda }$ kaj la renormuma skalo ${\displaystyle M}$. Tial la kvanto ${\displaystyle (1/2Z)\delta Z/\delta M=(1/n)\delta G_{n}/\delta M}$ ankaŭ dependas nur de ${\displaystyle \lambda }$ kaj ${\displaystyle M}$. Laŭ dimensia analitiko ni povas esprimi

${\displaystyle {\frac {1}{2Z}}{\frac {\delta Z}{\delta M}}={\frac {1}{M}}\gamma (\lambda )}$

por ia funkcio ${\displaystyle \gamma }$.

Dume, ${\displaystyle \lambda }$ ankaŭ ŝanĝas infinitezime ${\displaystyle \lambda \to \lambda +\delta \lambda }$, kaj ni skribu

${\displaystyle \delta G_{n}(x;M,\lambda )=\delta M{\frac {\partial G_{n}}{\partial M}}+\delta \lambda {\frac {\partial G_{n}}{\partial \lambda }}}$.

Do simile ${\displaystyle \delta \lambda /\delta M}$ dependas nur de ${\displaystyle \lambda }$ kaj ${\displaystyle M}$. Laŭ dimensia analitiko ni povas esprimi

${\displaystyle {\frac {\delta \lambda }{\delta M}}={\frac {1}{M}}\beta (\lambda )}$

por ia funkcio ${\displaystyle \beta }$.

Fine, komponante la esprimojn, ni havas la formulon

${\displaystyle {\frac {\partial G_{n}}{\partial M}}+\beta (\lambda ){\frac {\partial G_{n}}{\partial \lambda }}+n\gamma (\lambda )G_{n}=0}$.

Tiu ĉi estas la ekvacio de Callan–Symanzik. La funkcio ${\displaystyle \beta (\lambda )}$, la beta funkcio^[2], priskribas la ŝanĝon de kuplokonstantoj tra ŝanĝo de renormuma skalo. Simile, la gama funkcio^[3] ${\displaystyle \gamma (\lambda )}$ priskribas la ŝanĝon de renormuma faktoro de kampa forto.