Perfekta potenco

En matematiko, perfekta potenco estas entjero, kiu povas esti esprimita kiel povo de iu pozitiva entjero. n estas perfekta povo, se ekzistas entjeroj m>1 kaj k>1 tiaj m^k=n. En ĉi tiu okazo, n povas nomiĝi perfekta k-a povo. Se k=2 aŭ k=3, tiam n estas perfekta kvadrato aŭ perfekta kubo, respektive.

Notu, ke perfekta potenco ne estas la samo kiel aŭ subspeco de perfekta nombro.

Vico de perfektaj potencoj povas esti generita per ripetado tra eblaj valoroj por m kaj k. La unuaj kelkaj perfektaj potencoj estas:

2² = 4, 2³ = 8, 3² = 9, 2⁴ = 4² = 16, 5² = 25, 3³ = 27, 2⁵ = 32, 6² = 36, 7² = 49, 2⁶ = 4³ = 8² = 64, ... .

Laŭ Eŭlero, Goldbach montris (en nun perdita letero), ke la sumo de 1/(p-1) super aro de perfektaj potencoj p, malinkluzivante 1 sed inkluzivante ripetadojn, konverĝas al 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1}$

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1}$

Ĉi tio estas iam sciata kiel la teoremo de Goldbach-Eŭlero.

Serĉo de perfektaj potencoj

Kontroli ĉu donita natura nombro n estas perfekta potenco povas esti farita per multaj malsamaj manieroj, kun diversaj niveloj de komplikeco. Unu el la plej simplaj tiaj manieroj estas konsideri ĉiujn eblajn valorojn por k, supren ĝis ${\displaystyle k\leq \log _{2}n}$..

Ĉi tiu maniero povas esti simpligita per anstataŭa konsiderado de nur primaj valoroj de k. Ĉi tio estas ĉar se n=m^k kaj k=ap kie p estas primo kaj a povas esti komponita, tiam n=m^k=m^ap=(m^a)^p. Pro ĉi tiu rezulto, la minimuma valoro de k devas esti nepre primo.

Vidu ankaŭ

• Teoremo de Mihăilescu

Referencoj

• Daniel J. Bernstein (1998). “Detecting perfect powers in essentially linear time - Detektado de perfektaj potencoj en esence lineara tempo”, Mathematics of Computation - Matematiko de kalkulado 67 (223), p. 1253–1283. 

Eksteraj ligiloj

• Pri serio de Goldbach kaj Eŭlero Arkivigite je 2007-09-28 per la retarkivo Wayback Machine
• A072103 en OEIS - perfektaj potencoj kun ripetadoj
• A001597 en OEIS - perfektaj potencoj sen ripetadoj
• A117453 en OEIS - perfektaj potencoj kiuj ripetiĝas
• Perfekta potenco je Mathworld