Maksimumo kaj minimumo

En matematiko, maksimumo estas la plej granda valoro kiun funkcio havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita najbaraĵo (loka maksimumo) aŭ de argumentaro de la funkcio (malloka maksimumo). La punkto de maksimumo estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la maksimumo.

Minimumo estas la plej malgranda valoro kiun funkcio havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita najbaraĵo (loka minimumo) aŭ de argumentaro de la funkcio (malloka minimumo). La punkto de minimumo estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la minimumo.

Ambaŭ maksimumo kaj minimumo estas nomataj kiel ekstremumo. Tiel, ĉiu loka maksimumo kaj ĉiu loka minimumo estas loka ekstremumo, ĉiu malloka maksimumo kaj ĉiu malloka minimumo estas malloka ekstremumo.

La valoroj de malloka maksimumo kaj malloka minimumo estas skribataj kiel max kaj min respektive.

Punkto de malloka maksimumo kaj punkto de malloka minimumo estas skribataj kiel argmax kaj argmin respektive.

La terminoj loka kaj malloka estas sinonimoj al relativa kaj absoluta respektive.

Sur grafikaĵo de funkcio ĝia loka maksimumo aspektas kiel supro de monteto kaj loka minimumo aspektas kiel fundo de kavo.

Punkto x_m estas loka maksimuma punkto de reelo-valora funkcio f difinita sur la reela linio se ekzistas iu ε>0, tia ke f(x_m) ≥ f(x) por ĉiu x tia ke |x-x_m| < ε. La valoro de la funkcio je ĉi tiu punkto estas nomata kiel maksimumo de la funkcio.
Punkto x_m estas loka minimuma punkto de reelo-valora funkcio f difinita sur la reela linio se ekzistas iu ε>0, tia ke f(x_m) ≤ f(x) por ĉiu x tia ke |x-x_m| < ε. La valoro de la funkcio je ĉi tiu punkto estas nomata kiel maksimumo de la funkcio.

Se la funkcio estas difinita sur normigita vektora spaco, iu normo || · || devas esti uzata por difini najbaraĵon kiu aperas en la difinoj de lokaj maksimumo kaj minimumo:

Punkto x_m estas loka maksimuma punkto de reelo-valora funkcio f difinita sur la normigita vektora spaco se ekzistas iu ε>0, tia ke f(x_m) ≥ f(x) por ĉiu x tia ke ||x-x_m|| < ε. La valoro de la funkcio je ĉi tiu punkto estas nomata kiel maksimumo de la funkcio.
Punkto x_m estas loka minimuma punkto de reelo-valora funkcio f difinita sur la normigita vektora spaco se ekzistas iu ε>0, tia ke f(x_m) ≤ f(x) por ĉiu x tia ke ||x-x_m|| < ε. La valoro de la funkcio je ĉi tiu punkto estas nomata kiel maksimumo de la funkcio.

Por difinoj de mallokaj maksimumo kaj minimumo ajna nocio de proksimeco aŭ najbareco en argumentaro de la funkcio ne bezonatas:

Punkto x_m estas malloka maksimuma punkto de funkcio f se f(x_m) ≥ f(x) por ĉiu x.
Punkto x_m estas malloka minimuma punkto de funkcio f se f(x_m) ≤ f(x) por ĉiu x.

Ĉiu malloka maksimuma aŭ minimuma punkto estas ankaŭ loka maksimuma aŭ minimuma punkto; tamen, loka maksimuma aŭ minimuma punkto ne nepre estas malloka maksimumo aŭ minimuma punkto.

Limigitaj argumentaroj: Povas esti konsiderataj maksimumaj kaj minimumoj por funkcio kies argumentaro estas iel limigita (ekzemple ne inkluzivas ĉiujn reelaj nombroj).

Ekzemple funkcio f(x)=x² ne havas maksimumon. Tamen se limigi ĝian argumentaron al [1, 2] ĝi ekhavas maksimumon je punkto x=2 (ĝi estas malloka maksimumo kaj la sola loka maksimumo).

Kontinua reelo-valora funkcio sur kompakta aro ĉiam havas maksimumon kaj minimumon sur ĉi tiu aro. Grava ekzemplo estas funkcio kies argumentaro estas fermita (barita) intervalo de reelaj nombroj. Tiam ĉiu fina punkto de la intervalo nepre estas punkto de loka maksimuma aŭ loka minimumo.

Se la funkcio estas diferencialebla, ĝia lokaj ekstremumoj povas troviĝi nur en kritaj punktoj (senmovaj punktoj). Por funkcio de unu argumento ĉi tio estas punktoj kie la unua derivaĵo estas nula. Por funkcio de multaj argumentoj ĉi tio simile estas punktoj kie la unuaj partaj derivaĵoj je ĉiu el la argumentoj estas nulaj. Funkcio de vektora argumento tiam devas esti konsiderata kiel funkcio de multaj nombraj argumentoj, kiuj estas komponantoj de la vektoro.

Kontrolo ĉu krita punkto estas loka maksimumo aŭ loka minimumo eblas per matrico de Hessian, unua derivaĵa provo, dua derivaĵa provo aŭ dua parta derivaĵa provo.

Sufiĉa sed ne nepra kondiĉo de maksimumo estas ke matrico de Hessian estas pozitive difinita matrico; sufiĉa sed ne nepra kondiĉo de minimumo estas ke matrico de Hessian estas negative difinita matrico.

Por funkcio de unu variablo, se ekzistas derivaĵo de la n-grado f⁽ⁿ⁾(a) kaj ĉiuj la antaŭaj derivaĵoj estas nuloj

f'(a) = f' '(a) = ... = f^(n-1)(a) = 0

do

a estas punkto de loka maksimumo se n estas para kaj f⁽ⁿ⁾(a) > 0
a estas punkto de loka minimumo se n estas para kaj f⁽ⁿ⁾(a) < 0
a estas trafleksa punkto se n estas nepara

Krita punkto kiu ne estas maksimumo aŭ minimumo povas esti trafleksa punkto ĉe funkcio de unu variablo kaj sela punkto ĉe funkcio de du variabloj.

Kondiĉoj de mallokaj maksimumoj kaj minimumoj estas malsamaj inter funkcioj de unu kaj kelkaj variabloj. Se diferencialebla funkcio f difinita sur la reela linio havas solan kritan punkton, kiu estas loka maksimumo aŭ minimumo, do ĝi estas ankaŭ malloka maksimumo aŭ minimumo, ĉi tio povas esti pruvita per intera valora teoremo kaj teoremo de Rolle per pruvo per disputo. En okazo de du kaj pli multaj variabloj, ĉi tiu argumento malsukcesas. Ekzemple funkcio

f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R}

havas la solan kritan punkton estas je (0, 0), kiu estas loka minimumo kun f(0, 0) = 0. Tamen, ĝi ne estas malloka minimumo ĉar f(4, 1) = -11.

Trovado de mallokaj maksimumoj kaj minimumoj estas la celo de optimumigo.

La termino optimumo povas anstataŭigi unuon el la terminoj maksimumo aŭ minimumo, depende de la problemo.

Funkcio f(x)=x²
- Se difinita sur la tuta reela linio ĝi havas:
  - neniun maksimumon;
  - minimumon je punkto x=0 (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo)
  - : ${\underset {x}{\operatorname {min} }}\,x^{2}=0$
- Se limigi ĝian argumentaron al [1, 2] ĝi havas:
  - maksimumon je punkto x=2 (ĝi estas malloka maksimumo kaj la sola loka maksimumo);
  - : ${\underset {x\in [1,2]}{\operatorname {max} }}\,x^{2}=4$
  - minimumon je punkto x=1 (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo).
  - : ${\underset {x\in [1,2]}{\operatorname {min} }}\,x^{2}=1$
- Se limigi ĝian argumentaron al [-1, 2] ĝi havas:
  - maksimumon je punkto x=2 (ĝi estas malloka maksimumo kaj unu el du lokaj maksimumoj);
  - : ${\underset {x\in [-1,2]}{\operatorname {max} }}\,x^{2}=4$
  - maksimumon je punkto x=-1 (la alia el du lokaj maksimumoj);
  - minimumon je punkto x=0 (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo).
  - : ${\underset {x\in [-1,2]}{\operatorname {min} }}\,x^{2}=0$
- Se limigi ĝian argumentaron al [-2, 2] ĝi havas:
  - maksimumon je punkto x=2 (ĝi estas unu el du mallokaj maksimumoj kaj unu el du lokaj maksimumoj);
  - maksimumon je punkto x=-2 (la alia el du mallokaj maksimumoj kaj la alia el du lokaj maksimumoj);
  - : ${\underset {x\in [-2,2]}{\operatorname {max} }}\,x^{2}=4$
  - minimumon je punkto x=0 (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo).
  - : ${\underset {x\in [-2,2]}{\operatorname {min} }}\,x^{2}=0$
Funkcio x³ ne havas mallokan aŭ lokan minimumon aŭ maksimumon. Kvankam la unua derivaĵo (3x²) estas 0 je x=0, ĉi tio estas trafleksa punkto.
Funkcio x³/3 - x havas unuan derivaĵon x² - 1 kaj duan derivaĵon 2x. La unua derivaĵo estas 0 je x egala al -1 kaj +1. De la signo de la dua derivaĵo sekvas ke -1 estas loka maksimumo kaj +1 estas loka minimumo. Tamen ĉi tiu funkcio ne havas mallokajn maksimumon aŭ minimumon.
Funkcio |x| havas mallokan minimumon je x=0 kiu ne povas troviĝi per derivaĵoj, ĉar la derivaĵo ne ekzisti je x=0.
Funkcio cos(x) havas malfinie multajn mallokajn maksimumojn je 0, ±2π, ±4π, ..., kaj malfinie multajn mallokajn minimumojn je ±π, ±3π, ... .
: ${\underset {x}{\operatorname {min} }}\,{\cos x}=-1$ , ${\underset {x}{\operatorname {max} }}\,{\cos x}=1$
Funkcio cos(x) - x/2 havas malfinie multajn lokajn mallokajn kaj minimumojn, sed ne havas mallokajn maksimumojn aŭ minimumojn.
Konstanta funkcio da ajnaj argumentoj havas mallokan maksimumon kaj minimumon je ĉiu punkto de sia argumentaro.
Funkcio cos(3πx)/x kun 0,1 ≤ x ≤ 1,1 havas malloka maksimumo je x=0,1 (fina punkto), mallokan minimumon je x≈0,3, lokajn maksimumojn je x≈0,6 kaj x=1,1 (fina punkto), lokan minimumon je x≈1,0 (vidu grafikaĵon supre).