Senfineco

En matematiko kaj filozofio senfineco aŭ nefinio aŭ infinito havas plurajn signifojn, kiuj ĉiuj esprimas la ideon, ke la priparolata objekto aŭ procezo en ia senco ne havas finon. Ekde antikvaj tempoj filozofoj kaj matematikistoj klopodis kompreni kaj analizi nefinion, sed ofte temis pri misgvidaj argumentoj, ĝis Georg Cantor pli formale kaj rigore analizis la koncepton fine de la 19-a jarcento, interalie enkondukante klaran manieron distingi grandecojn de nefinio.

Simbolo por esprimi senfinecon

"Ĉu la universo estas senfina?" - video de la jutuba kanalo Scivolemo.

Senfineco reprezentita en formo de ekrankopio.

Matematiko uzas la simbolon ∞ (unikode U+221E) por signi nefiniecon, atribuita al angla matematikisto John Wallis.^[1]

Estas grave distingi diversajn uzojn de la koncepto "senfineco" en diversaj kampoj de matematiko. Ekz-e, en analitiko, "nefinia" estas koncepto uzata por paroli pri limo de vico, kiu ne havas reelnombran aŭ kompleksnombran limon; en tia kunteksto havas sencon distingi inter pozitiva kaj negativa nefinioj. En aroteorio aliflanke, ne havas sencon paroli pri negativa senfineco, sed tamen ekzistas pluraj malsamaj nefinioj: Ekz-e oni povas diri, ke la aro de reelaj nombroj estas pli granda ol la aro de naturaj nombroj, kvankam ambaŭ estas nefiniaj. La kialo estas, ke la naturaj nombroj ne sufiĉas por numeri la reelajn.

Historio

Barato

Kvar jarcentojn a. K. diversaj barataj tekstoj traktas senfinecon. Upaniŝado mencias ke "se vi forprenas aŭ aldonas parton al senfineco, tiu restas senfineco". Matematika teksto Surya Prajnapti asertas koncepton de tri specoj de kvantoj: nombreblaj (ekzemple naturaj nombroj), nenombreblaj (tre grandaj), kaj senfinaj.

La ĝajnisma matematika teksto Surja Prajnapti (ĉirkaŭ 4a–3a jarcento a.n.e.) klasigis ĉiujn nombrojn en tri tipoj: nombreblaj, nenombreblaj, kaj senfinaj. Ĉiu el tiuj estis plue subdividitaj en tri ordoj:^[2]

• Nombreblaj: plej malaltaj, intermezaj, kaj plej altaj
• Nenombreblaj: preskaŭ nenombreblaj, vere nenombreblaj, kaj nenombre nenombreblaj
• Senfinaj: preskaŭ senfinaj, vere senfinaj, senfine senfinaj

Budhismo

Iu frua budhisma arto montras dion kun 8-eca simbolo en mano, kiu reprezentas senfinan ciklon.

Antikva Grekujo

Aristotelo.

La plej frua registrita ideo de senfineco en Grekujo povas esti tiu de Anaksimandro (ĉ. 610 - ĉ. 546 a.K.), antaŭsokrata greka filozofo. Li uzis la vorton apeirono, kiu signifas "senlima", "nedifinita" kaj eble tradukeblas kiel "senfina". ^[3][4]

Estis aristotela koncepto de ebla senfineco (anstataŭ vera senfineco), ekzemple anstataŭ diri ke ekzistas senfina kvanto da primnombroj, oni diris ke estas pli da primnombroj ol en iu ajn konkreta aro de primnombroj. Tamen lastatempaj esploristoj asertas, ke estis Arĥimedo ŝajne kiu konceptis veran senfinecon.

Aristotelo (350 a.n.e.) distingis eblan senfinecon disde fakta senfineco, kion li konsideris malebla pro variaj paradoksoj, kiujn ĝi ŝajne okazigus.^[5] Oni argumentis, ke, kongrue kun tiu vidpukto, la Helenismaj grekoj havis "hororon al la senfineco"^[6][7] kio ekzemple klarigus kial Eŭklido (ĉirkaŭ 300 a.n.e.) ne diris, ke estas senfineco de primoj, sed anstataŭe, ke "Primaj nombroj estas pli ol ajna atribuita amasserio de primaj nombroj."^[8] Oni asertis ankaŭ, ke pruvante la senfinecon de primaj nombroj, Eŭklido "estis la unua kiu superis la hororon al la senfineco".^[9] Estas simila polemiko pri la paralela postulato de Eŭklido, foje tradukita jene:

	„ Se rekto falanta trans du [aliaj] rektoj faras internajn angulojn sur la sama flanko [de si mem kies sumo estas] malpli ol du ortaj anguloj, tiam la du [aliaj] rektoj, estante produktitaj al senfineco, renkontas sur tiu flanko [de la origina rekto] ke la [sumo de la internaj anguloj] estas malpli ol du ortoj.[10] ”

Aliaj tradukistoj, aliflanke, preferas la tradukon "la du rektaj linioj, se produktitaj senfine ...",^[11] evitante tiel la implicon, ke Eŭklido estis komforta kun la nocio de senfineco. Finfine, estis konservite ke pripensado pri senfineco, for de ellogado de "hororo al la senfineco", submetas ĉion el frua greka filozofio kaj ke la "ebla senfineco" de Aristotelo estas aberacio de la ĝenerala tendenco de tiu periodo.^[12]

Aristotelo instruis la senfinan divideblecon de materio; ĝin kontestis la atomismaj filozofoj, kiuj asertis la ekziston de plej malgrandaj materieroj. Zenono el Elajo elpensis paradoksojn, kiuj montris la nesufiĉecon de finiaj nombroj, ekzemple, ke ne eblas atingi foran celon, ĉar eblas senfine dividi la distancon al ĝi.

Zenono: Aĥilo kaj la testudo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Paradokso de Aĥilo.

Zenono el Elajo (ĉirkaŭ 495 – ĉirkaŭ 430 a.n.e.) ne antaŭenigis vidpunktojn pri la senfineco. Tamen, liaj paradoksoj,^[13] speciale tiu pri "Aĥilo kaj la testudo", estis gravaj kontribuoj en tio ke ili faris klara la maltaŭgecon de popularaj konceptoj. La paradoksoj estis priskribitaj de Bertrand Russell kiel "senmezure subtilaj kaj profundaj".^[14]

Aĥilo kurkonkuras kun testudo, permesante al ĝi unuan eliron.

• Paŝo #1: Aĥilo kuras al la deirpunkto de la testudo dum la testudo antaŭeniras.
• Paŝo #2: Aĥilo avancas al la loko kie la testudo estis ĉe la fino de Paŝo #1 dum la testudo ankoraŭ iras plu.
• Paŝo #3: Aĥilo avancas al la loko kie la testudo estis ĉe la fino de Paŝo #2 dum la testudo ankoraŭ iras plu.
• Paŝo #4: Aĥilo avancas al la loko kie la testudo estis ĉe la fino de Paŝo #3 dum la testudo ankoraŭ iras plu.

Ktp.

Ŝajne, Aĥilo neniam atingas la testudon, ĉar kvankam li kompletigas ĉiun paŝon, la testudo restas ĉiam antaŭ li.

Zenono ne provis fari precizajn asertojn pri senfineco. Kiel membro de la Elaja filozofia skolo, kiu rigardis moviĝon kiel iluzion, li vidis kiel eraro supozi, ke Aĥilo povis kuri entute. Postaj pensuloj, trovante ĉi tiun solvon neakceptebla, luktis dum pli ol du jarmiloj por trovi aliajn malfortaĵojn en la argumento.

Augustin-Louis Cauchy havigis la argumentojn por solvi la paradokson de Aĥilo kaj la testudo.

Finfine, en 1821, Augustin-Louis Cauchy havigis kaj kontentigan difinon de limo kaj pruvon ke, por 0 < x < 1,^[15] $${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

Supozu, ke Aĥilo kuras je 10 metroj je sekundo, la testudo marŝas je 0,1 metroj je sekundo, kaj ĉi-lasta havas 100-metran avancon. La daŭro de la ĉasado kongruas kun la ŝablono de Cauchy kun a = 10 sekundoj kaj x = 0.01. Aĥilo ja preterpasas la testudon; li bezonis

${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }$${\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ sekundoj}}.}$

Postaj filozofoj

La pozitiva kontribuo de William Hamilton al la progreso de la pensaro estas komparative malgranda, sed li stimulis spiriton de kritikemo en siaj lernantoj insistante pri la granda gravo de psikologio kontraŭ la malnova metodo de metafiziko, kaj per la agnosko de la gravo de la germana filozofio, speciale tiu de Immanuel Kant. Lia plej grava verko estas evidente "Philosophy of the Unconditioned" (Filozofio de la Senkondiĉi), nome disvolvigo de la principo ke por la homa limigita menso ne povas esti kono de la Senfineco.

En la 17-a jarcento, eŭropaj matematikistoj komencis uzi senfinajn nombrojn kaj senfinajn esprimojn en sistema maniero. En 1655, John Wallis unue uzis la notacion ${\displaystyle \infty }$ por tia nombro en sia De sectionibus conicis,^[16] kaj ekspluatis ĝin en areokalkuloj dividante la regionon en infinitezimajn striojn de larĝo sur la ordo de ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$.^[17] Sed en Arithmetica infinitorum (1656),^[18] li indikas senfinajn seriojn, senfinajn produktojn kaj senfinajn daŭrajn frakciojn skribante kelkajn terminojn aŭ faktorojn kaj poste aldonante "&c.", kiel en "1, 6, 12, 18, 24, &c."Cajori 1993, Sec. 435, Vol. II, p. 58</ref>

En 1699, Isaac Newton verkis pri ekvaciojn kun senfina nombro de terminoj en sia verko De analysi per aequationes numero terminorum infinitas.^[19]

Matematiko

Hermann Weyl malfermis matematik-filozofan temon en 1930 jene:^[20]

	„ Matematiko estas la scienco de senfineco. ”

Simbolo

La simbolo de senfineco ${\displaystyle \infty }$ (foje nomita lemniskato) estas matematika simbolo reprezentanta la koncepton de senfineco. La simbolo estas kodigita en Unicode en U+221E ∞ infinity (HTML ∞ · ∞)^[21] kaj en LaTeX kiel \infty.^[22]

Ĝi estis enkondukita en 1655 fare de John Wallis,^[23][24] kaj ekde sia enkonduko, ĝi estis uzata ekster matematiko en moderna mistikismo^[25] kaj literatura simbolaro.^[26]

Kalkulo

Lejbnico, unu el la inventintoj de la infinitezima kalkulo, spekulativis multe pri senfinaj nombroj kaj ties uzoj en matematiko. Li opiniis, ke senfineconaj kaj senfinaj kvantoj estis iaj idealaj ekzistaĵoj, sen la sama naturo de palpeblaj kvantoj, tamen kun similaj ecoj kaj reguloj kongrue kun la Leĝo de Kontinueco.^[27][28]

La reela analitiko

En la reela analitiko, la simbolo ∞ (nomita "infinito") reprezentas nebaritan limeson. x → ∞ signifas ke x kreskas senbare, kaj x → -∞ signifas ke x malkreskas senbare.

Senfineco estas uzata ofte ne nur por difini limeson, sed kiel memstara kvanto aldonita al la aro de reelaj nombroj kiel topologia spaco.

La kompleksa analitiko

Simile kiel en la reela analitiko, ∞ reprezentas nebaritan sensignan limeson. x → ∞ signifas ke la grando |x| kreskas senbare. Kaj simile, punkto ∞ aldoneblas al la kompleksa spaco kiel topologia spaco.

La nenorma kalkulo

Origine Lejbnico kaj Neŭtono konceptis senfineconajn kvantojn, sed nesufiĉe rigore, do posteuloj enkondukis la konceptojn de limoj kaj baroj por pliformaligi la matematikon. Tamen en la 20-a jarcento oni malkovris metodon uzi senfineconajn kvantojn pli rigore kaj logike. La inverso de senfinecona kvanto estas senfina. Tiel tiaj kvantoj estas elementoj de kampo, kaj se H estas senfina nombro, do 2+H kaj H+1 estas aliaj malsamaj senfinaj nombroj. Tio estas tute alia alveno ol tiu de Cantor.

La teorio de aroj

Georg Cantor

Alia speco de "senfineco" estas la ordonombroj kaj kvantonombroj de la aroteorio. Cantor evoluigis sistemon de transfiniaj nombroj, el kiuj la unua estas ℵ₀ (alef-nul), kiu reprezentas la kvantonombron de la aro de naturaj nombroj. Ĉi tiu moderna koncepto naskiĝis en la esploroj de Georg Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind kaj aliaj, baze de la koncepto de aroj, kaj aroj de aroj.

Kerna ideo, dank' al Dedekind, estas tiu de unu-al-unu-rilato inter la elementoj de 2 aroj, kiel metodo kompari la grandojn de la aroj. Ĝi forĵetis la malnovan nocion ke parto ne povas samgrandi al la tuto. Tiam senfina aro difineblas kiel aro kiu havas la saman grandon kiel iu parto de la tuto. Ekzemple, ekzistas same multe da paraj naturaj nombroj kiom da naturaj nombroj.

Cantor plu evoluigis la ideojn, kun distingo de ordonombroj kaj kvantonombroj. Se oni rigardas naturajn nombrojn en ilia funkcio kiel mezuriloj por grandeco de finiaj aroj, tiam la vastigo al senfinaj aroj donas la kvantonombrojn. Se oni aliflanke rigardas la naturajn nombrojn en ilia funkcio kiel indikiloj de pozicioj en iu finia ordigita aro, tiam vastigo al senfinaj aroj donas la ordonombrojn. Por povi senchave paroli pri pozicioj en senfina ordigita aro, oni tamen devas limigi sin al la bone ordigitaj aroj, kiuj estas la ordigitaj aroj ĉe kiuj ĉiu subaro havas plej malgrandan elementon.

La plej malgranda senfina kvantonombro ℵ₀ egalas al la kvanto de naturaj nombroj. Se montreblas unu-al-unu-rilato inter iu aro A kaj la aro de naturaj nombroj, tiam A estas numerebla. Se iu aro A tro grandas por havi unu-al-unu-rilaton kun la naturaj nombroj, tiam A estas nenumerebla.

Unu el la ĉefaj teoremoj de Cantor estas, ke la aro de reelaj nombroj pli grandas ol la aro de naturaj nombroj, t. e. la aro de la reeloj estas nenumerebla. Eble eĉ pli surpriza estas tio, ke la aro de raciaj nombroj ja estas numerebla, ĉar eblas difini unu-al-unu-rilaton inter la du aroj de naturaj nombroj kaj raciaj nombroj. Cantor elpensis utilan pruvan metodon, la diagonalan argumenton, por pruvi tiajn rezultojn.

La kontinuumo-hipotezo temas pri tio, ĉu ekzistas aro kun kvantonombro inter tiu de la naturaj nombroj kaj tiu de la reelaj nombroj. Estis pruvite ke ĝi nek pruveblas nek kontraŭpruveblas per la kutimaj aroteoriaj aksiomoj (nomataj Zermelo-Fraenkel-aksiomoj kun elekto-aksiomo (ZFE)), do aperas du variaĵoj de aroteorio, depende de tio, ĉu oni supozas ĝin aŭ ĝian malon kiel aldonan aksiomon.

Geometrio kaj topologio

Senfineco aperas ofte en geometrio kaj topologio. Ekzistas spacoj senfin-dimensiaj.

Rekto (supre), duonrekto (meze) kaj rektosegmento (sube). Kompreneble por rekto kaj duonrekto estas videblaj nur partoj, kiujn povas enteni la bildo. La buletoj (•) markas finpunktojn de segmento kaj komencon de duonrekto. La rilato inter rekto kaj rektosegmento estas apliko de senfineco en geometrio.

Ĝis la fino de la 19-a jarcento, senfineco malofte estis diskutita en geometrio, krom en la kunteksto de procezoj kiuj povus esti daŭrigitaj sen iu limo. Ekzemple, rekto estis tio, kion oni nun nomas rektosegmento, kun la kondiĉo ke oni povas etendi ĝin tiom kiom oni volas; sed etendi ĝin senfine estis eksterla demando. Simile, linio estis kutime ne konsiderita kiel kunmetaĵo de senlime multaj punktoj sed estis loko kie punkto povas esti metita. Eĉ se ekzistas senlime multaj eblaj pozicioj, nur finhava nombro da punktoj povus esti metita sur rekton. Atestanto de tio estas la esprimo "la loko de punkto kiu kontentigas iun econ" (singularo), kie modernaj matematikistoj ĝenerale dirus "la aro de la punktoj kiuj havas la propraĵon" (pluralo).

Unu el la maloftaj esceptoj de matematika koncepto implikanta faktan senfinecon estis projekcia geometrio, kie punktoj ĉe senfineco estas aldonitaj al la eŭklida spaco por modeligado de la perspektiva efiko kiu montras paralelajn rektojn intersekcantajn "ĉe senfineco". Matematike, punktoj ĉe senhfineco havas la avantaĝon permesi ne konsideri kelkajn specialajn kazojn. Ekzemple, en projekcia ebeno, du apartaj rektoj intersekcas en ekzakte unu punkto, dum sen punktoj ĉe senfineco, ekzistas neniuj intersekcaj punktoj por paralelaj rektoj. Do, paralelaj kaj ne-paralelaj rektoj devas esti studitaj aparte en klasika geometrio, kvankam ili ne bezonas esti distingitaj en projekcia geometrio.

Antaŭ la uzo de aro-teorio por la fondo de matematiko, punktoj kaj rektoj estis rigarditaj kiel apartaj unuoj, kaj punkto povus situi sur rekto. Kun la universala uzo de aroteorio en matematiko, la vidpunkto draste ŝanĝiĝis: rekto estas nun konsiderata kiel la aro de ĝiaj punktoj, kaj oni diras, ke punkto apartenas al rekto anstataŭ situas sur rekto (tamen oni ankoraŭ uzas ĉi-lastan frazon).

Aparte, en moderna matematiko, rektoj estas senfinaj aroj.

Fraktoj

Fraktoj.

Fraktoj estas moderna branĉo de matematiko, kiu temas ofte pri objektoj kiuj prezentas saman aŭ similan strukturon je diversaj niveloj, tiel montrante senfinan detalecon kaj memsimilecon.

Matematiko intence sen senfineco

Iuj matematikistoj estis skeptikaj ĉu vere validas uzi senfinecon precipe post la akcepto de la kantora aroteorio. Leopold Kronecker kaj aliaj tiel evoluigis sen-senfinecajn matematikojn kaj matematikajn filozofiojn, inkluzive de konstruismo kaj intuiciismo, en kiuj oni ne rajtas supozi ke ekzistas senfinaj kvantoj, procezoj, decidprocezoj ktp.

Literaturo

• Amir D. Aczel. (2001) The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. Pocket Books. ISBN 0-7434-2299-6.

• D. P. Agrawal (2000). Ancient Jaina Mathematics: an Introduction, Infinity Foundation.
• Bell, J. L.: Continuity and infinitesimals. Stanford Encyclopedia of philosophy. Reviziita en 2009.
• Cajori, Florian (1993) [1928 & 1929], A History of Mathematical Notations (du volumoj binditaj kiel unu), Dover, ISBN 978-0-486-67766-8
• Gemignani, Michael C. (1990), Elementary Topology (2nd ed.), Dover, (ISBN 0-486-66522-4)
• L. C. Jain. (1982) Exact Sciences from Jaina Sources.
• L. C. Jain (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", Indian Journal of History of Science.
• George G. Joseph. (2000) The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2‑a eldono, Penguin Books. ISBN 0-14-027778-1.
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd ed.), http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html La unua eldono estas de 1976; la dua eldono de 1986. Tiun libron oni ne presas nun. La eldonejo redonis la kopirajton al la aŭtoro, kiu disponebligis la duan eldonon en .pdf formato disponebla en
• Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press, pp. 1197–1198, ISBN 978-0-19-506135-2
• Maddox, Randall B. (2002), Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics, Academic Press, (ISBN 0-12-464976-9)
• Eli Maor. (1991) To Infinity and Beyond. Princeton University Press. ISBN 0-691-02511-8.
• Rudy Rucker. (1995) Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press. ISBN 0-691-00172-3.
• Russell, Bertrand (1996) [1903], The Principles of Mathematics, New York: Norton, ISBN 978-0-393-31404-5, OCLC 247299160
• Sagan, Hans (1994), Space-Filling Curves, Springer, ISBN 978-1-4612-0871-6
• Navjyoti Singh. (1988) Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers 30.

• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, (ISBN 0-87150-341-7)
• Taylor, Angus E. (1955), Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company
• Wallace, David Foster (2004), Everything and More: A Compact History of Infinity, Norton, W.W. & Company, Inc., ISBN 978-0-393-32629-1

Vidu ankaŭ

• Senfinecono
• Aksiomo de senfineco
• Nombro
• Nulo
• Georg Cantor
• Lasta lekcio en Gotingeno – Bildrakonto kiu prezentas la teoriojn de Georg Cantor kaj Kurt Gödel pri senfineco.
• Senfina reveno
• Eterno