Se x,y,z estas mallongigita, t.e., se ili ne havas komunan divizoron, oni nomas ilin primitiva pitagora triopo. Je ĉia primitiva triopo z estas nepara, kaj el la nombroj x kaj y unu estas para, la alia nepara.
Ekzemploj:
La plej malgranda pitagora triopo estas (3,4,5). Ĝi estas primitiva. Oni uzas ĝin en la dekdunoda ŝnuro por krei ortajn angulojn.
donas por ĉiaj
pitagoran triopon. Sed ne ĉiu pitagoro triopo povas esti reprezentita tiel.
Sed ĉiu primitiva pitagora triopo (x,y,z) havas tian reprezenton, ĉar:
se y estas la para nombro de la triopo. u kaj v estas tiam naturaj nombroj sen komunaj divizoroj kaj u>v, unu el ambaŭ estanta para, la alia nepara.
Oni trovas ĉiujn pitagorajn triopojn, se oni uzas tiaj nombroj, kalkulas la tiel difinitan primitivan triopon x,y,z, kaj multiplikas per iu natura nombro n: nx,ny,nz.
Ekzemploj:
2,1 donas la triopon (3,4,5)
3,1 donas la triopon (8,6,10), kiu estas ne primitiva, ĉar 3 kaj 1 estas ambaŭ neparaj
3,2 donas la triopon (5,12,13)
multipliko per 7 donas (35,84,91)
Laŭ tiuj reguloj oni ricevas kiel primitivaj pitagoraj triopoj ekzemple (ordigitaj laŭ u+v):
kun v = 1 (kaj para u): (3, 4, 5), (15, 8, 17), (35, 12, 37), (63, 16, 65), (99, 20, 101), (143, 48, 145),… , (4n²-1, 4n, 4n²+1),… do por ĉiu natura nombro n estas triopo, kiu enhavas la nombron 4n, kaj kie la diferenco de ambaŭ aliaj nombroj estas ekzakte 2.
kun v = u-1: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85),… , (2n+1, 2n²+2n, 2n²+2n+1),… do por ĉiu nepara nombro 2n+1 (krom1) estas triopo, kies plej malgranda nombro estas 2n+1 kaj kie la diferenco de ambaŭ aliaj nombroj estas ekzakte 1.
Estas 16 primitivaj pitagoraj triopoj kun z ≤ 100:
( 3, 4, 5)
( 5, 12, 13)
( 7, 24, 25)
( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)
(11, 60, 61)
(12, 35, 37)
(13, 84, 85)
(16, 63, 65)
(20, 21, 29)
(28, 45, 53)
(33, 56, 65)
(36, 77, 85)
(39, 80, 89)
(48, 55, 73)
(65, 72, 97)
En primitiva pitagora triopo akurate unu el x, y estas nepara; z estas nepara.
En primitiva pitagora triopo la areo A = xy/2 estas entjero.
En primitiva pitagora triopo akurate unu el x, y estas dividebla je 3.
En primitiva pitagora triopo akurate unu el x, y estas dividebla je 4.
En primitiva pitagora triopo akurate unu el x, y, z estas dividebla je 5.
En primitiva pitagora triopo akurate unu el x, y, (x+y), (y-x) estas dividebla je 7.
En primitiva pitagora triopo ĉiuj primaj faktoroj de z estas primoj de formo 4n+1.
En primitiva pitagora triopo maksimume unu el x, y estas kvadrato.
Ĉiu entjero pli granda ol 2 kiu estas kongrua al 2 mod 4 estas parto de primitiva pitagora triopo. Ekzemploj de entjeroj kiuj ne estas partoj de primitivaj pitagoraj triopoj: 6, 10, 14, 18
Ĉiu entjero pli granda ol 2 estas parto de primitiva aŭ neprimitiva pitagora triopo, ekzemple, entjeroj 6, 10, 14, 18 ne estas partoj de la primitivaj triopoj, sed ili estas partoj de la neprimitivaj triopoj (6, 8, 10), (14, 48, 50) kaj (18, 80, 82).
Ekzistas malfinie multaj pitagoraj triopoj kies (hipotenuzoj, hipotenuzas) estas kvadratoj de naturaj nombroj.
Ekzistas malfinie multaj pitagoraj triopoj en kiu unu el la (kruroj, kruras) estas la kvadrato de natura nombro.
Ekzistas malfinie multaj pitagoraj triopoj en kiu la hipotenuzo kaj la pli longa kateto diferenciĝas je akurate 1.
Ekzistas malfinie multaj pitagoraj triopoj en kiu la hipotenuzo kaj la pli longa kateto diferenciĝas je akurate 2.
Ne ekzistas primitivaj pitagoraj triopoj en kiu la hipotenuzo kaj la kateto diferenciĝas je primo pli granda ol 2.
Por ĉiu natura nombro n, ekzistas n pitagoraj triopoj kun malsamaj hipotenuzoj kaj la sama areo.
Por ĉiu natura nombro n, ekzistas almenaŭ n malsamaj pitagoraj triopoj kun la sama kateto.
Por ĉiu natura nombro n, ekzistas almenaŭ n malsamaj pitagoraj triopoj kun la sama hipotenuzo.
La nekonataj flankoj de triopo povas esti kalkulita rekte de la radiuso de la enskribita cirklo, r, kaj la valoro de la sola sciata kateto, x:
k = x-2r
y = 2r + (2 r2/k)
z = y+k
Por ĉiu cirklo kies radiuso estas entjero r estas almenaŭ unu orta triangulo enhavanta ĉi tiun cirklon kiel la enskribita cirklo kun longoj de la lateroj kiuj estas primitiva pitagora triopo. Unu el ĉi tiuj triopoj estas:
x = 2r(r+1)
y = 2r+1
z = 2r2+2r+1
La perimetroP kaj areoL de triangulo difinita per primitiva pitagora triopa estas
P = x+y+z = 2m(m+n)
L = xy/2 = mn(m2 - n2)
La plej mallonga latero estas x se unu el la sekvaj kondiĉoj veras: