Momanto (statistiko)

En statistiko, la momantoj estas mezuroj de distribua funkcio de hazarda variablo. Ili kongruas al la parametroj de la priskriba statistiko.

La momanto de grado k>0 pri hazarda variablo X estas, se ekzistas, la atendata valoro de X^k , t.e. : ${\displaystyle m_{k}=\operatorname {E} [X^{k}]\ .}$

Centraj momantoj

Centra momanto de grado ${\displaystyle k\geq 0}$ pri hazarda variablo X estas la nombro ${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} [\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{k}]\ .}$

La 0-a centra momanto ${\displaystyle \mu _{0}\ }$ egalas al 1, dum la 1-a centra momanto ${\displaystyle \mu _{1}\ }$ egalas al 0.

Rimarkindaj momantoj

Pozitiva asimetriokoeficiento V

Negativa asimetriokoeficiento V

Kurtosisojn ${\displaystyle \gamma _{2}}$ pri malsamaj probablodensaj funkcioj, sed kun sama varianco; la nigra kurbo estas la normala distribuo.

Iaj momantoj estas konitaj per apartaj nomoj. Ili estas kutime uzataj por karakterizi hazardan variablon.

• La unua momanto de variablo: ${\displaystyle m_{1}=\operatorname {E} [X]}$ , ofte notata ${\displaystyle \mu \ }$ aŭ iam ${\displaystyle m\ }$, simple kongruas al la atendita valoro.

• La dua centra momanto: ${\displaystyle \mu _{2}=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]}$, ofte notata ${\displaystyle \sigma ^{2}\ }$, ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$, ${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$, kongruas al la varianco.

• La tria norma centra momanto: ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]\ }$, kongruas al la asimetriokoeficiento. Ĝi permesas mezuri asimetrion de probablodistribuo, kaj estas pozitiva aŭ negativa; evidente, ĝi nulas pri (simetria) normala distribuo.

• La kvara norma centra momanto : ${\displaystyle \beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]\,}$ kongruas al la kurtosiso (el greka termino, kiu signifas ŝvelo). Ĝi permesas mezuri diferencojn inter distribuokurboj; akra pinto kun longa vosto havas grandan kurtosison, aŭ runda supro kun mallonga vosto havas malgrandan kurtosison. Pri normala distribuo ${\displaystyle \beta _{2}=3}$, tial ke oni foje konsideras ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$, kiu estas aŭ pozitiva (granda kurtosiso), aŭ negativa (malgranda kurtosiso), aŭ nula ("kvazaŭ" normala distribuo).

Rilatoj inter ordinaraj kaj centraj momantoj

Oni povas skribi rilatojn inter la ordinaraj momantoj ${\displaystyle m_{k}}$ kaj la centraj momantoj ${\displaystyle \mu _{k}}$ . Sekvas ekzemploj ĝis k=4:

${\displaystyle \mu _{2}=m_{2}-m_{1}^{2}\,,}$

${\displaystyle \mu _{3}=m_{3}-3\,m_{1}\,m_{2}+2\,m_{1}^{3}\,,}$

${\displaystyle \mu _{4}=m_{4}-4\,m_{1}\,m_{3}+6\,m_{1}^{2}\,m_{2}-3m_{1}^{4}\,;}$

kaj

${\displaystyle m_{2}=\mu _{2}+m_{1}^{2}\,,}$

${\displaystyle m_{3}=\mu _{3}+3\,m_{1}\mu _{2}+m_{1}^{3}\,,}$

${\displaystyle m_{4}=\mu _{4}+4\,m_{1}\mu _{3}+6\,m_{1}^{2}\mu _{2}+m_{1}^{4}\,.}$

Vidu ankaŭ

• Momanto

• Kategorio Momanto (statistiko) en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)