Ομολογική Άλγεβρα
From Wikipedia, the free encyclopedia
Ομολογική Άλγεβρα[1] είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά την ομολογία σε ένα γενικό αλγεβρικό περιβάλλον. Είναι μια σχετικά νέα επιστήμη, της οποίας η προέλευση μπορεί να εντοπιστεί σε έρευνες στο πλαίσιο της συνδυαστικής τοπολογίας (ένας πρόδρομος στην Αλγεβρική Τοπολογία) και της αφηρημένης άλγεβρας (θεωρία των προτύπων και συζυγίες) στα τέλη του 19ου αιώνα, κυρίως από τον Ανρί Πουανκαρέ και Νταβίντ Χίλμπερτ.
Η ανάπτυξη της ομολογικής άλγεβρας ήταν στενά συνυφασμένη με την εμφάνιση της θεωρίας κατηγοριών. Σε γενικές γραμμές, ομολογική άλγεβρα είναι η μελέτη των ομολογικών συναρτήσεων και των περίπλοκων αλγεβρικών δομών που συνεπάγονται. Μία πολύ χρήσιμη και συχνή έννοια στα μαθηματικά είναι το αλυσιδωτό σύμπλεγμα, που μπορεί να μελετηθεί τόσο μέσω της ομολογίας όσο και μέσω της συνομολογίας. Η Ομολογική Άλγεβρα παρέχει τα μέσα για την εξαγωγή πληροφοριών που περιέχονται στα αλυσίδες συμπλεγμάτων και τα παρουσιάζει με τη μορφή ομολογικών σταθερών των δακτυλίων, των προτύπων, των τοπολογικών χώρων και άλλων μαθηματικών αντικειμένων. Ένα ισχυρό εργαλείο για να γίνει αυτό, παρέχεται από τις φασματικές ακολουθίες.
Από τις αρχές της, η ομολογική άλγεβρα έχει παίξει τεράστιο ρόλο στην Αλγεβρική Τοπολογία. Η σφαίρα επιρροής της επεκτάθηκε σταδιακά και σήμερα περιλαμβάνει την αντιμεταθετική άλγεβρα, την αλγεβρική γεωμετρία, την Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, την Θεωρία αναπαραστάσεων, Μαθηματική Φυσική, Μιγαδική Ανάλυση και τη Θεωρία των μερικών Διαφορικών εξισώσεων. Η Κ-θεωρία είναι μια ανεξάρτητη θεωρία που βασίζεται στις μεθόδους της ομολογικής άλγεβρας, όπως και η μη-αντιμεταθετική γεωμετρία του Alain Connes.