Πεντάγωνο

Αυτό το λήμμα αφορά το πεντάγωνο στη γεωμετρία. Για άλλες χρήσεις, δείτε: Πεντάγωνο (αποσαφήνιση).

Στη γεωμετρία, πεντάγωνο ή 5-γωνο λέγεται ένα πολύγωνο που έχει πέντε πλευρές (και γωνίες). Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός απλού πενταγώνου είναι 540°.

Ένα πεντάγωνο μπορεί να είναι απλό ή αυτοτεμνόμενο. Ένα αυτοτεμνόμενο κανονικό πεντάγωνο (πεντάγωνο αστέρι) ονομάζεται πεντάγραμμο.

Κανονικό πεντάγωνο

Κανονικό πεντάγωνο
Το κανονικό πεντάγωνο, {5}
Πλευρές και Κορυφές	5
Schläfli	{5}
Coxeter–Dynkin
Συμμετρία	Διεδρική (D5)
Εμβαδόν (λ μήκους πλευράς)	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}}$ ${\displaystyle \approx 1.720477401\lambda ^{2}}$
Εσωτερική γωνία	108°

Το Κανονικό πεντάγωνο είναι το δισδιάστατο κυρτό σχήμα που έχει πέντε ίσες πλευρές, δηλαδή ένα απλό πεντάγωνο που έχει τις πλευρές του ίσες.

Το κανονικό πεντάγωνο έχει εσωτερική γωνία 108° και πέντε γραμμές με ανακλαστική και περιστροφική συμμετρία τάξης 5 (των 72°, 144°, 216° και 288°). Οι διαγώνιοι του κυρτού κανονικού πενταγώνου είναι σε χρυσή τομή προς τις πλευρές του. Το ύψος του (απόσταση από μια πλευρά στην απέναντι κορυφή) και το πλάτος (απόσταση μεταξύ των δύο πιο απομακρυσμένων σημείων του, η οποία ισούται με το μήκος των διαγωνίων) δίνονται από τους παρακάτω τύπους για μήκος πλευράς t:

Το ύψος (${\displaystyle \Upsilon }$):

${\displaystyle \Upsilon ={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot t\approx 1.539\cdot t,}$

Το πλάτος (${\displaystyle \Pi }$) και η διαγώνιος (${\displaystyle \Delta }$):

${\displaystyle \Pi =\Delta ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot t\approx 1.618\cdot t,}$

Επίσης, η διαγώνιος με βάση την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου:

${\displaystyle \Delta =R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,}$

Η χρυσή τομή:

${\displaystyle {\frac {\overline {BJ}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AJ}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1{,}618}$

Το εμβαδόν ενός κυρτού κανονικού πενταγώνου με μήκος πλευράς t δίνεται από τον τύπο:

${\displaystyle A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1.720t^{2}.}$

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου

Μια μέθοδος κατασκευής κανονικού πενταγώνου

Το κανονικό πεντάγωνο είναι πολύγωνο που μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη ως εγγεγραμμένο σε κύκλο, είτε κατασκευάζοντας το από μια δοσμένη γωνία.^[1] Αυτή η διαδικασία αναφέρθηκε από τον Ευκλείδη, περίπου το 300 π.Χ. στο έργο του Στοιχεία.

Αφού κατασκευάσεις ένα κυρτό πεντάγωνο, όταν φέρεις τις διαγώνιές του κατασκευάζεις ένα πεντάγραμμο, με ένα μικρότερο κανονικό πεντάγωνο στο κέντρο του. Εφόσον επεκτείνεις τις πλευρές ώστε να ενωθούν, κατασκευάζεις ένα μεγαλύτερο κανονικό πεντάγωνο.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Μια μέθοδος κατασκευής με κανόνα και διαβήτη, είναι η ακόλουθη:

1. Σχεδίασε ένα κύκλο μέσα στον οποίο θα εγγράψουμε το πεντάγωνο και σημείωσε το κέντρο του O. (Ο πράσινος κύκλος στο διάγραμμα).
2. Διάλεξε ένα σημείο A του κύκλου που θα γίνει κορυφή του πενταγώνου. Φέρε μια ευθεία από το O και το A.
3. Φέρε μια κάθετη ευθεία στην OA που να περνά από το O. Σημείωσε ένα σημείο τομής της με τον κύκλο B.
4. Σημείωσε το σημείο C σαν το μέσο της O και B.
5. Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το C που να περνά από το A. Σημείωσε το σημείο τομής του με την OB (εμπεριεχόμενο στον κύκλο) σαν D.
6. Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το A που να περνά από το D. Σημείωσε τα σημεία τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο E και F.
7. Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το E που να περνά από το A. Σημείωσε το σημείο τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο G.
8. Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το F που να περνά από το A. Σημείωσε το σημείο τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο H.
9. Σχεδίασε το κανονικό πεντάγωνο AEGHF.

Κατασκευή πενταγώνου με δίπλωμα χαρτιού

Κατασκευή πενταγώνου με δίπλωμα χαρτιού

Μια απλή μέθοδος κατασκευής κανονικού πενταγώνου είναι από μια λωρίδα χαρτί την οποία πρέπει να δέσουμε κόμπο με τέτοιο τρόπο, ώστε το τελικό σχήμα να είναι συμμετρικό ως προς άξονα.^[2]

Πεντάγωνα στην φύση

• 
  Πεντάγωνα σε μπάμιες
• 
  Πενταγωνικά άνθη με πέντε πέταλα το καθένα
• 
  Το μήλο περιέχει πεντάγωνο
• 
  Καραμπόλα
• 
  Τα αστρόφρουτα της Μαλαισίας
• 
  Πεντάκτινο αστέρι σε αχλάδι

Παραπομπές

1. How to construct a regular pentagon Αρχειοθετήθηκε 2008-06-16 στο Wayback Machine. using only compass and straightedge.
2. How to fold a regular pentagon Αρχειοθετήθηκε 2008-07-01 στο Wayback Machine. using only a strip of paper.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Definition and properties of the pentagon, with interactive animation
• Nine constructions for the regular pentagon by Robin Hu
• Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons at Convergence