Ρόμβος

Στην γεωμετρία, ρόμβος είναι το τετράπλευρο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες.^{[1]:122-124[2]:94[3]:102-103} Ισοδύναμα είναι το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Ένας ρόμβος.

Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται και είναι κάθετες.

Ειδική περίπτωση ρόμβου είναι το τετράγωνο που έχει όλες του τις γωνίες ορθές.

Ιδιότητες

• Σε έναν ρόμβο όλες οι πλευρές είναι ίσες.^[1]: 122

Απόδειξη

Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {B\Gamma } }$. Τότε, από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, δηλαδή ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {\Gamma \Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Delta } }$. Επομένως, προκύπτει ότι όλες οι πλευρές είναι ίσες.

• Σε κάθε ρόμβο, οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα, διχοτομούν τις γωνίες του και είναι άξονες συμμετρίας του.^[1]: 123

Απόδειξη

Έστω ${\displaystyle \mathrm {O} }$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου. Τότε, από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου έχουμε ότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται επομένως ${\displaystyle \mathrm {\Delta O} =\mathrm {OB} }$, άρα η ${\displaystyle \mathrm {AO} }$ είναι διάμεσος. Το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta } }$ είναι ισοσκελές, επομένως η διάμεσος ${\displaystyle \mathrm {AO} }$ είναι και ύψος και διχοτόμος της ${\displaystyle \mathrm {\Delta AB} }$. Συνεπώς, είναι και άξονας συμμετρίας του.

• Κριτήρια ρόμβου: Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος αν και μόνο αν ισχύει κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις:^[1]: 123

1. Έχει όλες τις πλευρές του ίσες.
2. Είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.
3. Είναι παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους.
4. Είναι παραλληλόγραμμο με μία διαγώνιο να διχοτομεί γωνία του.
5. Είναι παραλληλόγραμμο με δύο ύψη ίσα.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ρόμβου δίνεται από το γινόμενο των διαγωνίων του:

${\displaystyle {\rm {E={\tfrac {1}{2}}\cdot A\Gamma \cdot B\Delta }}}$.

Απόδειξη

Η διαγώνιος ${\displaystyle {\rm {B\Delta }}}$ χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοκελή τρίγωνο στα οποία το ύψος έχει μήκος ${\displaystyle {\rm {{\tfrac {1}{2}}A\Gamma }}}$. Επομένως, το εμβαδόν δίνεται από τον τύπο ${\displaystyle {\rm {E=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta ={\tfrac {1}{2}}\cdot A\Gamma \cdot B\Delta }}}$.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστικές εφαρμογές για ρόμβους: κατασκευή, ιδιότητες, ιδιότητες, κατασκευή
• Ρόμβος σε κύκλους
• Αναπάντεχος ρόμβος

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Plaza, Ángel (Οκτωβρίου 2016). «Proof Without Words: The Parallelogram With Maximum Perimeter for Given Diagonals Is the Rhombus». Mathematics Magazine 89 (4): 251–251. doi:10.4169/math.mag.89.4.251.
• Patronis, Tasos; Spanos, Dimitris (Νοεμβρίου 1991). «On squares, rectangles, rhombuses, ... and the influence of culture and language on students’ conceptions». International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 22 (6): 927–935. doi:10.1080/0020739910220610.
• Hajja, Mowaffaq (Νοεμβρίου 2018). «102.49 A very short proof of Pamfilos's characterisation of the rhombus». The Mathematical Gazette 102 (555): 521–523. doi:10.1017/mag.2018.130.
• Pamfilos, P. (2016). «A characterisation of the rhombus». Forum Geom. (16): 331–336.

Δείτε επίσης

wiktionary logo

Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:   ρόμβος

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Ρόμβος

• Παραλληλόγραμμο
• Ορθογώνιο
• Δελτοειδές
• Τετράγωνο
• Τραπέζιο

Παραπομπές

1. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
2. Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων.
3. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία 1. Ι. Χιωτέλη.