Ρόμβος

Στην γεωμετρία, ρόμβος είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες.^{[1]:122-124[2]:94[3]:102-103} Ισοδύναμα είναι το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Ένας ρόμβος.

Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται και είναι κάθετες.

Ειδική περίπτωση ρόμβου είναι το τετράγωνο που έχει όλες του τις γωνίες ορθές.

Ιδιότητες

• Σε κάθε ρόμβο, οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα, διχοτομούν τις γωνίες του και είναι άξονες συμμετρίας του.^[1]: 123

Απόδειξη

Έστω ${\displaystyle \mathrm {O} }$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου. Τότε, από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου έχουμε ότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται επομένως ${\displaystyle \mathrm {\Delta O} =\mathrm {OB} }$, άρα η ${\displaystyle \mathrm {AO} }$ είναι διάμεσος. Το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta } }$ είναι ισοσκελές, επομένως η διάμεσος ${\displaystyle \mathrm {AO} }$ είναι και ύψος και διχοτόμος της ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Delta AB}}}}$. Συνεπώς,η διαγώνιος ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }$ είναι και άξονας συμμετρίας του. Ομοίως αποδεικνύεται ότι και η ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } }$ είναι άξονας συμμετρίας του ρόμβου. ${\displaystyle \square }$

Κριτήρια ρόμβου

Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος αν και μόνο αν ισχύει κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις:^[1]: 123

• Είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.^[1]: 122

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης. (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ο ρόμβος ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$, από τον ορισμό όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Άρα και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες συνεπώς είναι παραλληλόγραμμο. Είναι δε και οι διαδοχικές πλευρές ίσες. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {B\Gamma } }$. Τότε, από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, δηλαδή ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {\Gamma \Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Delta } }$. Επομένως, προκύπτει ότι όλες οι πλευρές είναι ίσες. Άρα το ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ είναι ρόμβος.[Σημείωση 1] ${\displaystyle \square }$

• Είναι παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης. (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ο ρόμβος ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$, από τον ορισμό όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Άρα και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες συνεπώς είναι παραλληλόγραμμο. Έπιπλέον σύμφωνα με την ιδιότητα του ρόμβου οι διαγώνοι είναι κάθετες. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα παραλληλόγραμμο του οποίου οι διαγώνιοι ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ,\mathrm {B\Delta } }$ είναι κάθετες και ${\displaystyle \mathrm {O} }$ το σημείο τομής τους. Σύμφωνα με την ιδιότητα του παραλληλογράμμου είναι ${\displaystyle \mathrm {OA=O\Gamma } }$ που σημαίνει ότι η ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } }$ είναι μεσοκάθετος της ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }$. 'Αρα είναι ${\displaystyle \mathrm {\Delta A} =\mathrm {\Delta \Gamma } }$ οπότε σύμφωνα με την προηγούμενη ιδιότητα το ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ είναι ρόμβος. ${\displaystyle \square }$

• Είναι παραλληλόγραμμο με μία διαγώνιο να διχοτομεί γωνία του.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης. (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ο ρόμβος ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$, από τον ορισμό όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Άρα και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες συνεπώς είναι παραλληλόγραμμο. Στο ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta } }$ η διαγώνιος ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }$ είναι μεσοκάθετος άρα και διχοτόμος. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα παραλληλόγραμμο του οποίου η διαγώνιος ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } }$ διχοτομεί την γωνία ${\displaystyle {\widehat {\rm {A\Delta \Gamma }}}}$ και ${\displaystyle \mathrm {O} }$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Στο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {A\Delta \Gamma }}}$ η ${\displaystyle {\rm {\Delta O}}}$ είναι διάμεσος (οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται) και διχοτόμος της γωνίας ${\displaystyle {\widehat {\rm {A\Delta \Gamma }}}}$ άρα το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {\Delta A\Gamma } }$ είναι ισοσκελές, με ${\displaystyle {\rm {\Delta A=\Delta \Gamma }}}$. Συνεπώς το παραλληλόγραμμο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες άρα σύμφωνα με την προηγούμενη ιδιότητα το ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ είναι ρόμβος. ${\displaystyle \square }$

• Είναι παραλληλόγραμμο με όλα τα ύψη ίσα.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης. (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ο ρόμβος ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$, από τον ορισμό όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Άρα και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες συνεπώς είναι παραλληλόγραμμο. Σε ένα παραλληλόγραμμο τα ύψη είναι ανά τέσσερα ίσα. Για να δείξουμε ότι όλα είναι ίσα, αρκεί να δείξουμε ότι δύο ύψη που αντιστοιχούν στην ίδια κορυφή είναι ίσα. Φέρνουμε τα ύψη ${\displaystyle \mathrm {AA'} }$ και ${\displaystyle \mathrm {AA''} }$. Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {ABA'} }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Delta A''} }$ έχουν: ${\displaystyle \mathrm {AB=A\Delta } }$ ως πλευρές του ρόμβου και ${\displaystyle {\widehat {\rm {ABA'}}}={\widehat {\rm {A\Delta A''}}}}$ ως απέναντι γωνίες ρόμβου, Άρα είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή ${\displaystyle \mathrm {AA'=AA''} }$. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα παραλληλόγραμμο του οποίου τα ύψη ${\displaystyle \mathrm {AA'} }$ και ${\displaystyle \mathrm {AA''} }$ είναι ίσα. Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {ABA'} }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Delta A''} }$ έχουν: ${\displaystyle {\widehat {\rm {ABA'}}}={\widehat {\rm {A\Delta A''}}}}$ ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου και ${\displaystyle \mathrm {AA'=AA''} }$. Άρα είναι και ίσα και έχουν όλα τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή ${\displaystyle {\rm {AB=A\Delta }}}$. Σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο είναι ρόμβος. ${\displaystyle \square }$

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ρόμβου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ με διαγωνίους ${\displaystyle \delta _{1}={\rm {A\Gamma }}}$ και ${\displaystyle \delta _{2}={\rm {B\Delta }}}$ ισούται με το μισό του γινομένου των διαγωνίων του:

${\displaystyle {\rm {E={\tfrac {1}{2}}\cdot \delta _{1}\cdot \delta _{2}}}}$.

Απόδειξη

Η διαγώνιος ${\displaystyle {\rm {B\Delta }}}$ χωρίζει τον ρόμβο σε δύο ισοκελή τρίγωνα στα οποία το ύψος έχει μήκος ${\displaystyle {\rm {{\tfrac {1}{2}}A\Gamma }}}$. Επομένως, το εμβαδόν δίνεται από τον τύπο ${\displaystyle {\rm {E=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta ={\tfrac {1}{2}}\cdot A\Gamma \cdot B\Delta }}}$. ${\displaystyle \square }$

Το εμβαδόν ενός ρόμβου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ πλευράς ${\displaystyle \alpha }$ και γωνίας ${\displaystyle \theta ={\widehat {\rm {BA\Delta }}}}$ δίνεται επίσης από τον τύπο

${\displaystyle {\rm {E}}=\alpha ^{2}\cdot \sin \theta }$.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστικές εφαρμογές για ρόμβους: κατασκευή, ιδιότητες, ιδιότητες, κατασκευή
• Ρόμβος σε κύκλους
• Αναπάντεχος ρόμβος

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Plaza, Ángel (Οκτωβρίου 2016). «Proof Without Words: The Parallelogram With Maximum Perimeter for Given Diagonals Is the Rhombus». Mathematics Magazine 89 (4): 251–251. doi:10.4169/math.mag.89.4.251.
• Patronis, Tasos; Spanos, Dimitris (Νοεμβρίου 1991). «On squares, rectangles, rhombuses, ... and the influence of culture and language on students’ conceptions». International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 22 (6): 927–935. doi:10.1080/0020739910220610.
• Hajja, Mowaffaq (Νοεμβρίου 2018). «102.49 A very short proof of Pamfilos's characterisation of the rhombus». The Mathematical Gazette 102 (555): 521–523. doi:10.1017/mag.2018.130.
• Pamfilos, P. (2016). «A characterisation of the rhombus». Forum Geom. (16): 331–336.

Σημειώσεις

1. Για να είμαστε ακριβείς, χρησιμοποιούμε επίσης ότι κάθε παραλληλόγραμμο είναι κυρτό.

Δείτε επίσης

wiktionary logo

Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:   ρόμβος

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Ρόμβος

• Παραλληλόγραμμο
• Ορθογώνιο
• Δελτοειδές
• Τετράγωνο
• Τραπέζιο