Τέλειος αριθμός

Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του αριθμού, είναι ίσο τον αριθμό δηλ. ο n είναι τέλειoς αν και μόνο αν σ(n) = 2n.

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι ο 6. Οι διαιρέτες του 6 είναι οι 1, 2, 3 και το άθροισμα αυτών είναι ίσο με 6 (1+2+3=6). Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 και ο 8128. Αυτοί είναι και οι μόνοι γνωστοί τέλειοι κατά την αρχαιότητα.

Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 33.550.336 και ακολουθούν οι 8.589.869.056, 137.438.691.328, 2.305.843.008.139.952.128, 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176, 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216.

Άρτιοι τέλειοι αριθμοί

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1):

Για n = 2:   2¹(2² − 1) = 2 × 3 = 6

Για n = 3:   2²(2³ − 1) = 4 × 7 = 28

Για n = 5:   2⁴(2⁵ − 1) = 16 × 31 = 496

Για n = 7:   2⁶(2⁷ − 1) = 64 × 127 = 8128

Παρατηρώντας ότι τα n στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης απέδειξε ότι ο τύπος 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) δίνει έναν άρτιο τέλειο αριθμό όταν το 2ⁿ − 1 είναι πρώτος.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί έκαναν και άλλες εικασίες για τους τέλειους αριθμούς από τις οποίες όμως οι περισσότερες αποδείχθηκαν λανθασμένες.

Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν ο ${\displaystyle 2^{n}-1}$ είναι πρώτος, τότε ο ${\displaystyle n}$ είναι πρώτος, χωρίς όμως να ισχύει και το αντίστροφο. Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2ⁿ − 1 είναι γνωστοί ως πρώτοι του Μερσέν (Mersenne), από το όνομα του Μαρίν Μερσέν που έζησε τον 17ο αιώνα και τους μελέτησε πρώτος.

Δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ευκλείδη, ο Όιλερ (Euler) απέδειξε ότι ο τύπος 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό σαν Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ.

Μέχρι σήμερα, με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι γνωστοί 50 πρώτοι του Μερσέν και άρα και 50 άρτιοι τέλειοι αριθμοί. Ο μεγαλύτερος από αυτούς - ο 50ος - αποτελείται από 23,249,425 ψηφία. Δεν είναι γνωστό αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι του Μερσέν. Το σύστημα GIMPS ασχολείται με την εύρεση πρώτων του Μερσέν.

Περιττοί τέλειοι αριθμοί

Είναι άγνωστο αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Υπάρχουν ωστόσο μια σειρά αποτελέσματα χωρίς όμως οι μαθηματικοί να έχουν φτάσει στην απάντηση της ερώτησης αν υπάρχουν ή όχι.

Τα μέχρι σήμερα γνωστά αποτελέσματα μας λένε ότι κάθε περιττός τέλειος αριθμός N πρέπει να είναι της μορφής 12m + 1 ή 36m + 9 και να ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:

• N είναι της μορφής

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}$

όπου q, p₁, …, p_k είναι διαφορετικοί πρώτοι και q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Όιλερ).

• Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ο k είναι τουλάχιστον 8, και ο k είναι τουλάχιστον 11 αν το 3 δεν διαιρεί το N (Nielsen 2006).
• Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ένας τουλάχιστον από τους ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots e_{k}}$ είναι μεγαλύτερος από 1. (Steuerwald 1937)
• Ο μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 10⁸ (Takeshi Goto and Yasuo Ohno, 2006).
• Ο δεύτερος μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 10⁴ , και ο τρίτος μεγαλύτερος πρώτος είναι μεγαλύτερος από 100 (Iannucci 1999, 2000).
• Ο N έχει τουλάχιστον 75 πρώτους στην παραγοντοποίησή του, υπολογίζοντας κάθε μια από τις 2e_k επαναλήψεις του p_k χωριστά (Kevin Hare 2005).
• Ο N είναι μικρότερος από ${\displaystyle 2^{4^{n}}}$ όπου n είναι ο αριθμός των διακεκριμένων πρώτων που τον διαιρούν (οπότε n = k + 1 όπου k όπως πριν) (Nielsen 2003).

Αν ο N υπάρχει, τότε είναι μεγαλύτερος από 10⁵⁰⁰ σύμφωνα με τους υπoλογισμούς του .

Κατάλογος

Έως το 2016 υπήρχαν συνολικά 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί. Ο εκθέτης p του πρώτου αριθμού Μερσέν χρησιμοποιείται για την επαλήθευση τους με τον τύπο 2^p−1× (2^p − 1) όπου 2^p − 1 αποτελεί πρώτο αριθμό Μερσέν. Όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί ακολουθούν αυτή την μορφή, και είναι άγνωστο εάν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί.^[1][2][3][4] Η αναλογία p / σύνολο ψηφίων προσεγγίζει το log(10) / log(4) = 1.6609640474...

#	p	Τέλειος αριθμός	Σύνολο ψηφίων	Έτος	Ανακαλύφθηκε από
1	2	6	1	4ος αιώνας π.Χ.[5]	Ευκλείδης
2	3	28	2	4ος αιώνας π.Χ.	Ευκλείδης
3	5	496	3	4ος αιώνας π.Χ.	Ευκλείδης
4	7	8128	4	4ος αιώνας π.Χ.	Ευκλείδης
5	13	33550336	8	1456	Σε μεσαιωνικό χειρόγραφο.[6][7]
6	17	8589869056	10	1588	Πιέτρο Κατάλντι[1]
7	19	137438691328	12	1588	Πιέτρο Κατάλντι[1]
8	31	2305843008139952128	19	1772	Λέοναρντ Όιλερ
9	61	265845599156...615953842176	37	1883	Ιβάν Περβούσιν
10	89	191561942608...321548169216	54	1911	Ραλφ Πάουερς
11	107	131640364585...117783728128	65	1914	Ραλφ Πάουερς
12	127	144740111546...131199152128	77	1876	Εντουάρ Λυκά
13	521	235627234572...160555646976	314	1952	Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
14	607	141053783706...759537328128	366	1952	Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
15	1.279	541625262843...764984291328	770	1952	Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
16	2.203	108925835505...834453782528	1.327	1952	Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
17	2.281	994970543370...675139915776	1.373	1952	Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
18	3.217	335708321319...332628525056	1.937	1957	Χανς Ρίζελ
19	4.253	182017490401...437133377536	2.561	1961	Hurwitz
20	4.423	407672717110...642912534528	2.663	1961	Hurwitz
21	9.689	114347317530...558429577216	5.834	1963	Ντόναλντ Μπρους Γκίλις
22	9.941	598885496387...324073496576	5.985	1963	Ντόναλντ Μπρους Γκίλις
23	11.213	395961321281...702691086336	6.751	1963	Ντόναλντ Μπρους Γκίλις
24	19.937	931144559095...790271942656	12.003	1971	Μπράιαντ Τάκερμαν
25	21.701	100656497054...255141605376	13.066	1978	Noll & Nickel
26	23.209	811537765823...603941666816	13.973	1979	Noll
27	44.497	365093519915...353031827456	26.790	1979	Nelson & Slowinski
28	86.243	144145836177...957360406528	51.924	1982	Slowinski
29	110.503	136204582133...233603862528	66.530	1988	Colquitt & Welsh
30	132.049	131451295454...491774550016	79.502	1983	Slowinski
31	216.091	278327459220...416840880128	130.100	1985	Slowinski
32	756.839	151616570220...600565731328	455.663	1992	Slowinski & Gage
33	859.433	838488226750...540416167936	517.430	1994	Slowinski & Gage
34	1.257.787	849732889343...028118704128	757.263	1996	Slowinski & Gage
35	1.398.269	331882354881...017723375616	841.842	1996	Armengaud. Woltman. et al.
36	2.976.221	194276425328...724174462976	1.791.864	1997	Spence. Woltman. et al.
37	3.021.377	811686848628...573022457856	1.819.050	1998	Clarkson. Woltman. Kurowski. et al.
38	6.972.593	955176030521...475123572736	4.197.919	1999	Hajratwala. Woltman. Kurowski. et al.
39	13.466.917	427764159021...460863021056	8.107.892	2001	Cameron. Woltman. Kurowski. et al.
40	20.996.011	793508909365...578206896128	12.640.858	2003	Shafer. Woltman. Kurowski. et al.
41	24.036.583	448233026179...460572950528	14.471.465	2004	Findley. Woltman. Kurowski. et al.
42	25.964.951	746209841900...874791088128	15.632.458	2005	Nowak. Woltman. Kurowski. et al.
43	30.402.457	497437765459...536164704256	18.304.103	2005	Cooper. Boone. Woltman. Kurowski. et al.
44	32.582.657	775946855336...476577120256	19.616.714	2006	Cooper. Boone. Woltman. Kurowski. et al.
45	37.156.667	204534225534...975074480128	22.370.543	2008	Elvenich. Woltman. Kurowski. et al.
46	42.643.801	144285057960...837377253376	25.674.127	2009	Strindmo. Woltman. Kurowski. et al.
47	43.112.609	500767156849...221145378816	25.956.377	2008	Smith. Woltman. Kurowski. et al.
48	57.885.161	169296395301...626270130176	34.850.340	2013	Cooper. Woltman. Kurowski. et al.
49	74.207.281	451129962706...557930315776	44.677.235	2016	Cooper. Woltman. Kurowski. Blosser. et al.

Παραπομπές

1. Crilly, Tony (2007). 50 mathematical ideas you really need to know. Quercus Publishing. σελ. 43. ISBN 978-1-84724-008-8.
2. Munch Pedersen, Jan (11 Σεπτεμβρίου 2006). «Known Perfect Numbers». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαΐου 2009. Ανακτήθηκε στις 16 Σεπτεμβρίου 2009.
3. «Perfect Numbers». MIT. Ανακτήθηκε στις 16 Σεπτεμβρίου 2009.
4. Chris Caldwell. "Mersenne Primes: History. Theorems and Lists" at The Prime Pages. Retrieved 2016-01-19.
5. The Penguin's Dictionary of curious and interesting numbers
6. Munich. Bayerische Staatsbibliothek. CLM 14908. fol. 33
7. Dickson, Leonard Eugene (1 Μαΐου 1999). Divisibility and primality. σελ. 6. ISBN 9780821819340. Ανακτήθηκε στις 13 Απριλίου 2011.

Πηγές

• Takeshi Goto and Yasuo Ohno, Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10⁸. Preprint, 2006. Διαθέσιμο εδώ: "Largest prime factor of an odd perfect number Αρχειοθετήθηκε 2007-05-17 στο Wayback Machine.".
• Kevin Hare, New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number. Preprint, 2005. Διαθέσιμο εδώ: Αρχειοθετήθηκε 2005-11-27 στο Wayback Machine..
• Douglas E. Iannucci, "The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand," Mathematics of Computation, volume 68, issue 228, pages 1749–1760, 1999.
• Douglas E. Iannucci, "The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred," Mathematics of Computation, volume 69, issue 230, pages 867–879, 2000.
• Pace P. Nielsen, "An upper bound for odd perfect numbers," Integers, vol. 3, A14, 9 pp. (electronic), 2003.
• Pace P. Nielsen, Odd perfect numbers have at least nine different prime factors,
  arXiv:math.NT/0602485
  , 2006.
• R. Steuerwald, Verscharfung einen notwendigen Bedingung fur die Existenz einen ungeraden vollkommenen Zahl, S.-B. Bayer. Akad. Wiss. 1937, 69–72.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
• Perfect numbers - History and Theory
• Perfect Number - from MathWorld
• List of Perfect Numbers at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• List of known Perfect Numbers All known perfect numbers are here.
• OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.