Σταθερά (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, η λέξη σταθερά αποδίδει πολλαπλές έννοιες. Ως επίθετο, αναφέρεται στη μη μεταβολή (δηλ. αμετάβλητη σε σχέση με κάποια άλλη τιμή)- ως ουσιαστικό, έχει δύο διαφορετικές σημασίες:

• Ένας σταθερός και καλά καθορισμένος αριθμός ή άλλο μη μεταβαλλόμενο μαθηματικό αντικείμενο, ή το σύμβολο που το δηλώνει.^[1][2] Οι όροι μαθηματική σταθερά ή φυσική σταθερά χρησιμοποιούνται μερικές φορές για να διακρίνουν αυτή την έννοια^[3].
• Μια συνάρτηση της οποίας η τιμή παραμένει αμετάβλητη (δηλ. μια σταθερή συνάρτηση).^[4] Μια τέτοια σταθερά αναπαρίσταται συνήθως από μια μεταβλητή η οποία δεν εξαρτάται από την κύρια μεταβλητή (ή τις κύριες μεταβλητές).

Παραδείγματος χάριν, μια γενική τετραγωνική συνάρτηση γράφεται συνήθως ως:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,,}$

όπου a, b και c είναι σταθερές (συντελεστές ή παράμετροι), και x μια μεταβλητή - ένας χώρος τοποθέτησης για το όρισμα της συνάρτησης που μελετάται. Ένας πιο σαφής τρόπος για να δηλώσουμε αυτή τη συνάρτηση είναι

${\displaystyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,}$

το οποίο καθιστά σαφές το καθεστώς ως όρισμα συνάρτησης του x (και κατ' επέκταση τη σταθερότητα των a, b και c). Σε αυτό το παράδειγμα τα a, b και c είναι συντελεστές του πολυωνύμου. Εφόσον το c εμφανίζεται σε έναν όρο που δεν περιλαμβάνει το x, ονομάζεται σταθερός όρος του πολυωνύμου και μπορεί να θεωρηθεί ως ο συντελεστής του x⁰. Γενικότερα, κάθε πολυωνυμικός όρος ή έκφραση μηδενικού βαθμού (χωρίς μεταβλητή) είναι σταθερά.^[5]:18

Σταθερή συνάρτηση

Κύριο άρθρο: Σταθερή συνάρτηση

Μια σταθερά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό μιας σταθερής συνάρτησης που αγνοεί τα ορίσματά της και δίνει πάντα την ίδια τιμή.^[6] Μια σταθερή συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής, όπως ${\displaystyle f(x)=5}$ έχει γραφική παράσταση μια οριζόντια γραμμή παράλληλη με τον άξονα x^[7]. Μια τέτοια συνάρτηση παίρνει πάντα την ίδια τιμή (στην προκειμένη περίπτωση 5), επειδή η μεταβλητή δεν εμφανίζεται στην έκφραση που ορίζει τη συνάρτηση.

Γραφική παράσταση της ${\displaystyle f(x)=5}$.

Εξάρτηση από το περιβάλλον

Ο εξαρτώμενος από τα συμφραζόμενα χαρακτήρας της έννοιας «σταθερά» μπορεί να φανεί σε αυτό το παράδειγμα από τον στοιχειώδη λογισμό:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{since }}x{\text{ is constant (i.e. does not depend on }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constant,} &&{\text{where }}\mathbf {constant} {\text{ means not depending on }}x.\end{aligned}}}$

«Σταθερά» σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από κάποια μεταβλητή, δεν αλλάζει καθώς η μεταβλητή αυτή αλλάζει. Στην πρώτη περίπτωση παραπάνω, σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από το h- στη δεύτερη, σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από το x. Μια σταθερά σε ένα στενότερο πλαίσιο θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μεταβλητή σε ένα ευρύτερο πλαίσιο.

Αξιοσημείωτες μαθηματικές σταθερές

Κύριο άρθρο: Μαθηματική σταθερά

Ορισμένες τιμές εμφανίζονται συχνά στα μαθηματικά και συμβολίζονται συμβατικά με ένα συγκεκριμένο σύμβολο. Αυτά τα τυποποιημένα σύμβολα και οι τιμές τους ονομάζονται μαθηματικές σταθερές. Παραδείγματα περιλαμβάνουν:

• 0 (μηδέν).
• 1 (ένα), ο φυσικός αριθμός μετά το μηδέν.
• π (π), η σταθερά που αντιπροσωπεύει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, περίπου ίση με 3,141592653589793238462643.^[8]
• e περίπου 2,718281828459045235360287.^[9]
• i, τη φανταστική μονάδα, έτσι ώστε i² = −1.^[10]
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (τετραγωνική ρίζα του 2), το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με μοναδιαίες πλευρές, περίπου ίσο με 1.414213562373095048801688.^[11]
• φ (χρυσή τομή), περίπου ίση με 1,618033988749894848204586, ή αλγεβρικά, ${\displaystyle 1+{\sqrt {5}} \over 2}$.^[12]

Σταθερές στον λογισμό

Στον λογισμό, οι σταθερές αντιμετωπίζονται με διάφορους τρόπους ανάλογα με την πράξη. Παραδείγματος χάριν, η παράγωγος (ρυθμός μεταβολής) μιας σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν. Αυτό συμβαίνει επειδή οι σταθερές, εξ ορισμού, δεν μεταβάλλονται. Συνεπώς, η παράγωγος τους είναι μηδέν.

Αντίθετα, όταν η αντιπαράγωγος είναι μια σταθερή συνάρτηση, η σταθερά πολλαπλασιάζεται με τη μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης ενός ορίου, μια σταθερά παραμένει η ίδια όπως ήταν πριν και μετά την αξιολόγηση.

Η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής συχνά περιλαμβάνει μια σταθερά ολοκλήρωσης. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα είναι το αντίστροφο (αντίθετο) της παραγώγου που σημαίνει ότι ο στόχος της ολοκλήρωσης είναι η ανάκτηση της αρχικής συνάρτησης πριν από τη διαφοροποίηση. Η παράγωγος μιας σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν, όπως προαναφέρθηκε, και ο διαφορικός τελεστής είναι γραμμικός τελεστής, οπότε συναρτήσεις που διαφέρουν μόνο κατά ένα σταθερό όρο έχουν την ίδια παράγωγο. Για να αναγνωριστεί αυτό, προστίθεται μια σταθερά ολοκλήρωσης σε ένα αόριστο ολοκλήρωμα- αυτό εξασφαλίζει ότι περιλαμβάνονται όλες οι πιθανές λύσεις. Η σταθερά ολοκλήρωσης γράφεται γενικά ως 'c' και αντιπροσωπεύει μια σταθερά με σταθερή αλλά απροσδιόριστη τιμή.

Παραδείγματα

Αν f είναι η σταθερή συνάρτηση τέτοια ώστε ${\displaystyle f(x)=72}$ για κάθε x τότε

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=0\\\int f(x)\,dx&=72x+c\\\lim _{x\rightarrow 0}f(x)&=72\end{aligned}}}$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός αριθμός
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Τετραγωνική ρίζα του 2
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Χρυσή τομή
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Επεξεργασία σήματος
• Κβαντική μηχανική
• Πολλαπλάσιο (μαθηματικά)
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Φυσική σταθερά
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Συναρτησιακή ανάλυση
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Flesher, Jeffrey. The Principles of the Trinary Universe. Lulu.com. ISBN 978-0-359-43790-0.
• Sierpinska, Anna· Kilpatrick, Jeremy (14 Μαρτίου 2013). Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity: An ICMI Study Book 1. Springer. ISBN 978-94-011-5194-8.
• Ahram, Tareq· Karwowski, Waldemar (16 Οκτωβρίου 2018). Human Systems Engineering and Design: Proceedings of the 1st International Conference on Human Systems Engineering and Design (IHSED2018): Future Trends and Applications, October 25-27, 2018, CHU-Université de Reims Champagne-Ardenne, France. Springer. ISBN 978-3-030-02053-8.
• Bennet, J. Lisy· Kumar, S. Chandra. A Study on Graph Labeling Problems. Infinite Study.
• Dunham, William (13 Ιανουαρίου 2022). Euler: The Master of Us All. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6618-3.
• Boeck, Paul de· Wilson, Mark (9 Μαρτίου 2013). Explanatory Item Response Models: A Generalized Linear and Nonlinear Approach. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3990-9.
• Kappy, Michael S. (7 Απριλίου 2015). Advances in Pediatrics 2014: Advances in Pediatrics 2014. Elsevier Health Sciences. ISBN 978-0-323-26462-4.
• Bylund, Per· Howden, David (6 Ιουλίου 2015). The Next Generation of Austrian Economics. Ludwig von Mises Institute. ISBN 978-1-61016-636-2.