From Wikipedia, the free encyclopedia
Η εξίσωση Ντιράκ, που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του θεωρητικού φυσικού Πολ Ντιράκ, είναι μία εξίσωση της σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής, η οποία περιγράφει σωματίδια με σπιν. Η πρώτη προσπάθεια για μία σχετικιστική εξίσωση στην κβαντική μηχανική κατέληξε στην εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον, μία γενίκευση της εξίσωσης Σρέντινγκερ. Το κίνητρο για τη δημιουργία της εξίσωσης Ντιράκ, ήταν να μπορέσει να αποφευχθεί η εμφάνιση αρνητικών ενεργειών μέσω της γραμμικοποίησης της εξίσωσης ως προς την παράγωγο του χρόνου, δηλαδή την ενέργεια. Η γραμμικοποίηση ως προς τον χρόνο επιτεύχθηκε, αλλά η ανάγκη ικανοποίησης της σχετικιστικής σχέσης για την ενέργεια E2=p2+m2 (c=1), επανεμφάνισε τις αρνητικές ενέργειες. Το κέρδος τελικά είναι ότι η νέα εξίσωση έχει λύσεις σε μορφή πινάκων, δηλαδή σε «πλουσιότερη» δομή και το σπιν προκύπτει αυθόρμητα μέσα από τις λύσεις της.
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Η γραμμικοποίηση της Κλάιν-Γκόρντον ως προς την χρονική παράγωγο, επιβάλει γραμμικοποίηση και στην κλίση (ανάδελτα), ώστε να είναι η εξίσωση σε συναλλοίωτη μορφή. Τελικά στην εξίσωση δόθηκε η γενική μορφή:
ή διαφορετικά:
η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί επί πλέον την σχετικιστική εξίσωση ενέργειας-ορμής (και εδώ είναι που εισέρχονται και πάλι οι αρνητικές ενέργειες):
Οι σταθερές αi, i=1,2,3 και β, είναι αρχικά αυθαίρετες και καθορίζονται μετέπειτα από ιδιότητες που προκύπτουν από την εξίσωση για την ικανοποίηση της σχετικιστικής ενέργειας.
Συγκεκριμένα ισχύει:
Η τελευταία ισότητα φυσικά αποτελεί απαίτηση ώστε να δίνει η εξίσωσή μας, την σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής.
Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν τα εξής:
Συνεπώς προκύπτει ως συμπέρασμα από τις δύο πρώτες σχέσεις, ότι τα αi και β αντιμετατίθενται όλα μεταξύ τους και επομένως δεν είναι απλοί αριθμοί. Ιδιότητα μη μετάθεσης εμφανίζουν οι πίνακες και επομένως τα αi και ο β είναι πίνακες με τις παραπάνω ιδιότητες.
Αποδεικνύεται ότι οι πίνακες αi και β, είναι ερμιτιανοί, άιχνοι (μηδενικό ίχνος πίνακα), έχουν άρτια διάσταση και ιδιοτιμές ±1 [1].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.