Βαρυτομαγνητισμός

Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν, ο χώρος και ο χρόνος παραμορφώνονται και συστρέφονται κοντά σε ένα περιστρεφόμενο σώμα, ένα φαινόμενο το οποίο είναι γνωστό με την ονομασία frame-dragging. Το φαινόμενο προβλέφθηκε για πρώτη φορά ως συνέπεια της γενικής σχετικότητας το 1918 από τους Αυστριακούς φυσικούς Γιόζεφ Λένζε (Josef Lense) και Χανς Tίρρινγκ (Hans Thirring). Αναφέρεται επίσης και με τα ονόματα βαρυτομαγνητισμός ή φαινόμενο Λένζε-Tίρρινγκ. Ο βαρυτοηλεκτρομαγνητισμός (ΒΗΜ) αναφέρεται σε ένα σύνολο αναλογιών μεταξύ των εξισώσεων του ηλεκτρομαγνητισμού και της σχετικιστικής βαρύτητας και συγκεκριμένα μεταξύ των εξισώσεων του Μάξγουελ και μιας υπό όρους προσέγγισης των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν για την γενική σχετικότητα. Ειδικότερα, με τον όρο βαρυτομαγνητισμό τονίζεται η αναλογία των κινηματικών φαινομένων της βαρύτητας με τα μαγνητικά φαινόμενα επί των κινουμένων ηλεκτρικών φορτίων.^[1] Η πιο διαδεδομένη μορφή BHM είναι έγκυρη μόνο μακράν των απομονωμένων πηγών και για αργά κινούμενα δοκιμαστικά σωματίδια. Η αναλογία και οι εξισώσεις διαφέρουν μόνο σε μερικούς μόνο παράγοντες, που δημοσιεύθηκαν πρώτα από τον Όλιβερ Χέβισάιντ (Oliver Heaviside) το 1893, πριν την διατύπωση της θεωρίας της γενικής σχετικότητας, ως μια μεμονωμένη επέκταση του νόμου του Νεύτωνα.^[2]

Οι Λένζε και Tίρρινγκ πρόβλεψαν ότι η περιστροφή ενός αντικειμένου θα επηρέαζε το χώρο και το χρόνο, παρασέρνοντας τα κοντινά αντικείμενα εκτός πορείας, συγκριτικά με τις προβλέψεις της Νευτώνειας φυσικής. Αυτό είναι το φαινόμενο του frame-dragging. Η προβλεπόμενη απόκλιση είναι εξαιρετικά μικρή - ένα μέρος σε μερικά τρισεκατομμύρια - το οποίο σημαίνει ότι για να γίνει αντιληπτή απαιτείται είτε ένα αντικείμενο με εξαιρετικά μεγάλη μάζα είτε η κατασκευή ενός υπέρμετρα ευαίσθητου οργάνου.

Το frame-dragging είναι μια από τις τελευταίες προβλέψεις της γενικής σχετικότητας που απομένουν να ελεγχθούν πειραματικά. Περισσότερο οικεία και ήδη αποδεδειγμένα φαινόμενα της ειδικής σχετικότητας περιλαμβάνουν τη μετατροπή της μάζας σε ενέργεια (που εκδηλώνεται π.χ. στους αστέρες και στις πυρηνικές βόμβες) και αντιστρόφως, καθώς και τους μετασχηματισμούς Λόρεντζ (Lorentz), οι οποίοι οδηγούν στη συστολή του μήκους και στην αύξηση της αδρανειακής μάζας, σε σχέση με ακίνητο παρατηρητή, αντικειμένων που κινούνται με ταχύτητες που πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός. Πρόσφατες μετρήσεις από δορυφόρους σε τροχιά γύρω από τη Γη φαίνεται να δείχνουν επιδράσεις frame-dragging και, αν επιβεβαιωθούν, θα αποτελέσουν μια ακόμη επιτυχημένη πρόβλεψη της Γενικής Σχετικότητας.

Ιστορική αναδρομή και πειραματικές προσπάθειες

• Η ύπαρξη του Βαρυτομαγνητικού Πεδίου θεωρήθηκε για πρώτη φορά από τον Heaviside στην δεκαετία του 1880.
• Ακολούθως, το πεδίο αυτό προβλέφθηκε από την Γενική Σχετικότητα και θεμελιώθηκε σε σχετικιστικό πλαίσιο από τους Λένζε (Lense) και Τίρρινγκ (Thirring) το 1918.
• Μεταξύ των ετών 1960-1975, ο Χένρυ Γουάλας (Henry Wallace) εξετέλεσε διάφορα πειράματα και επινόησε συσκευές με σκοπό την δημιουργία του πεδίου αυτού από την περιστροφή της Γης.
• Το 1961, ο Φόργουωρντ (Forward) εξέφρασε τις Πεδιακές εξισώσεις της Γενικής Σχετικότητας (Gravitational Field equations) σε αντίστοιχη μορφή με τις εξισώσεις του Maxwell για τον Ηλεκτρομαγνητισμό.
• Στην συνέχεια (Νοέμβριος 1996), μεγάλη έκταση πήρε το θέμα με την εργασία του Στιούαρτ Σαπίρο (Stuart Shapiro) που μελέτησε τις συνέπειες της ύπαρξης του πεδίου στις Μαύρες Τρύπες και τους αστέρες νετρονίων.
• Στις 20 Απριλίου 2004 το διαστημόπλοιο Gravity Probe B τέθηκε σε τροχιά γύρω από τη Γη με σκοπό τη μελέτη του φαινομένου. Η σύλληψη και κατασκευή του πραγματοποιήθηκαν από επιστήμονες του πανεπιστημίου Stanford και της NASA σε συνεργασία με την εταιρία Lockheed Martin.

Έμμεσες επιβεβαιώσεις των βαρυτομαγνητικών φαινομένων προκύπτουν από την ανάλυση των αστρονομικών/σχετικιστικών χειμάρρων. Ο Ρότζερ Πενρόουζ (Roger Penrose) είχε προτείνει έναν μηχανισμό, που βασίζεται στα φαινόμενα, που αφορούν το frame-dragging, προκειμένου να εξάγεται ενέργεια και ορμή από περιστρεφόμενες μελανές οπές.^[3] Η Ρέβα Κέι Ουίλιαμς Reva Kay Williams -από το Πανεπιστήμιο της Φλόριδα- ανέπτυξε μια αυστηρή απόδειξη, όπου επιβεβαίωθηκε ο μηχανισμός, που πρότεινε ο Πενρόουζ. Penrose's mechanism.^[4] Το μοντέλο της Ουίλιαμς έδειξε πως το φαινόμενο Lense–Thirring θα μπορούσε να συμβάλει στις παρατηρούμενες υψηλές ενέργειες και φωτεινότητες των κβάζαρς και των ενεργών γαλαξιακών πυρήνων, στους ευθυγραμμισμένους (ως προς τους πολικούς τους άξονες) χειμάρρους, καθώς και στους ασύμμετρους χειμάρρους (ως προς το τροχιακό επίπεδο).^[5][6] All of those observed properties could be explained in terms of gravitomagnetic effects.^[7] Η εφαρμογή του μηχανισμού του Πενρόουζ από την Ουίλιαμ μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιουδήποτε μεγέθους μελανές οπές.^[8] Οι σχετικιστικοί χείμαρροι μπορούν να χρησιμεύσουν ως οι μεγαλύτερες και λαμπρότερες μορφές επιβεβαίωσης του βαρυτομαγνητισμού.

Τα τελευταία χρόνια, μια ομάδα του Πανεπιστημίου του Στάνφορντ αναλύει δεδομένα από από την πρώτη άμεση δοκιμή του βαρυτοηλεκτρομαγνητισμού, το πείραμα του δορυφόρου Gravity Probe B, προκειμένου να διαπιστώσουν εάν τα δεδομένα αυτά είναι συνεπή με τη θεωρία του βαρυτομαγνητισμού.^[9], ενώ υπάρχουν σχέδια παρατήρησης βαρυτομαγνητικών φαινομένων από το πρόγραμμα APOLLO (Apache Point Observatory Lunar Laser-ranging Operation) του Αστεροσκοπείου Απάτσι Πόιντ, στο Νέο Μεξικό.^{[εκκρεμεί παραπομπή]}

Φυσικά ανάλογα των πεδίων[10]

Βαρυτομαγνητισμός – Εμφάνιση βαρυτομαγνητικού πεδίου H εξαιτίας της (ολικής) στροφορμής J. Βαρυτομαγνητισμός – Εμφάνιση βαρυτομαγνητικού πεδίου H εξαιτίας της (ολικής) στροφορμής J.   Ηλεκτρομαγνητισμός (1) – Εμφάνιση μαγνητικού πεδίου B εξαιτίας της διπολικής ροπής m ενός μαγνήτη. Ηλεκτρομαγνητισμός (1) – Εμφάνιση μαγνητικού πεδίου B εξαιτίας της διπολικής ροπής m ενός μαγνήτη.   Ηλεκτρομαγνητισμός (2) – Εμφάνιση μαγνητικού πεδίου B εξαιτίας της διπολικής ροπής m ενός κυκλικού αγωγού, που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα I. Ηλεκτρομαγνητισμός (2) – Εμφάνιση μαγνητικού πεδίου B εξαιτίας της διπολικής ροπής m ενός κυκλικού αγωγού, που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα I.   Μηχανική ρευστών – Η περιστροφική αντίσταση μιας συμπαγούς σφαίρας βυθισμένης σε ρευστό δημιουργεί ανάλογες κατευθύνσεις και αισθήσεις περιστροφής, όπως ο μαγνητισμός, και ανάλογη συστροφή του συστήματος (frame-dragging), όπως η αλληλεπίδραση του βαρυτομαγνητισμού. Μηχανική ρευστών – Η περιστροφική αντίσταση μιας συμπαγούς σφαίρας βυθισμένης σε ρευστό δημιουργεί ανάλογες κατευθύνσεις και αισθήσεις περιστροφής, όπως ο μαγνητισμός, και ανάλογη συστροφή του συστήματος (frame-dragging), όπως η αλληλεπίδραση του βαρυτομαγνητισμού.

Εξισώσεις

Σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα, το βαρυτικό πεδίο, που παράγεται από ένα περιστρεφόμενο αντικείμενο (ή μια περιστρεφόμενη μάζα-ενέργεια), μπορεί να περιγραφεί -σε μια οριακή περίπτωση- από εξισώσεις, που έχουν παρόμοια μορφή με εκείνες του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού. Ξεκινώντας από τη βασική εξίσωση της γενικής σχετικότητας, την εξίσωση πεδίου Αϊνστάιν, και υποθέτοντας ένα αποδεκτά επίπεδο χωρόχρονο ή ένα ασθενές βαρυτικό πεδίο, παράγονται οι Βαρυτοηλεκτρομαγνητικές (ΒΗΜ) εξισώσεις κατ' αντιστοιχία προς τις εξισώσεις Μάξγουελ του ηλεκτρομαγνητισμού:^[11][12]

Εξισώσεις ΒΗΜ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbb {E} =-4\pi G\rho _{\text{m}}\ }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbb {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbb {E} =-{\frac {\partial \mathbb {B} }{\partial t}}\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbb {B} =-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\mathbb {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbb {E} }{\partial t}}}$ όπου†: ${\displaystyle \mathbb {E} \ }$ (m⋅s−2) το βαρυτοηλεκτρικό (συμβατικό βαρυτικό πεδίο), ${\displaystyle \mathbb {B} \ }$ (s−1) το βαρυτομαγνητικό πεδίο, ρm (kg⋅m−3) η πυκνότητας μάζας, ${\displaystyle \mathbb {J} \ }$ (kg⋅m−2⋅s−1) η πυκνότητα ρεύματος μάζας ή ροή μάζας (με ${\displaystyle \mathbb {J} \ }$ = ρmvρ, όπου vρ η ταχύτητα της ροής μάζας), G η βαρυτική σταθερά, ίση περίπου προς 6.67×10−11 N·(m/kg)2 και c η ταχύτητα διάδοσης της βαρύτητας (όση και του φωτός), λίγο μικρότερη από 3·108 m/s. † οι μονάδες εμφανίζονται στο Διεθνές σύστημα μονάδων (SI).

Εξισώσεις ΗΜ (Μάξγουελ) ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{\text{q}}/\epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{\epsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ όπου: E το ηλεκτρικό πεδίο B το μαγνητικό πεδίο ρq το πυκνότητα φορτίου J η πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος ε0 η ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού c η ταχύτητα διάδοσης του φωτός.

Βαρυτοηλεκτρομαγνητική δύναμη και διάνυσμα Poynting

Η ολική δύναμη, που θα ασκηθεί πάνω σε ένα δοκιμαστικό σωματίδιο "μικρής" μάζας σε ένα στατικό σύστημα, εξ αιτίας ενός ενός ΒΗΜ πεδίου, δίνεται κατ' αναλογίαν της δύναμης Λόρεντζ στον ηλεκτρομαγνητισμό:

ΒΗΜ δύναμη ${\displaystyle \mathbb {F} =m\left(\mathbb {E} \ +\mathbf {v} \times \ 4\mathbb {B} \right)}$ όπου: m είναι η μάζα του δοκιμαστικού σωματιδίου και v είναι η ταχύτητα του δοκιμαστικού σωματιδίου.	ΗΜ δύναμη (Λώρεντζ) ${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} \ +\ \mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$ όπου: q είναι το ηλεκτρικό φορτίο του δοκιμαστικού σωματιδίου και v είναι η ταχύτητα του δοκιμαστικού σωματιδίου.

Ακόμη, η εξίσωση για το ΒΗΜ διάνυσμα Poynting, εν συγκρίσει με το ΗΜ διάνυσμα Poynting, δίνεται αντίστοιχα:^[13]

ΒΗΜ διάνυσμα Poynting ${\displaystyle \mathbf {s} =-{\frac {c^{2}}{4\pi G}}\mathbb {E} \times 4\mathbb {B} }$	ΗΜ διάνυσμα Poynting ${\displaystyle {\mathcal {S}}=c^{2}\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

Στάθμιση των πεδίων

Η βιβλιογραφία δεν υιοθετεί μια συνεπή στάθμιση μεταξύ του βαρυτοηλεκτρικού και του βαρυτομαγνητικού πεδίου, κάνοντας δυσχερή τη σύγκρισή τους. Για παράδειγμα, για να επιτευχθεί συμφωνία με τα γραπτά του Mashhoon, θα πρέπει όλες οι ποσότητες ${\displaystyle \mathbb {B} \ }$ στις BHM εξισώσεις να πολλαπλασιαστούν με τον παράγοντα −1/2c, ενώ οι ποσότητες ${\displaystyle \mathbb {E} \ }$ να πολλαπλασιαστούν με -1. Αυτοί οι παράγοντες τροποποιούν ποικιλοτρόπως τις αναλογίες των εξισώσεων για τη δύναμη Lorentz. Δεν υπάρχει κάποια επιλογή στάθμισης, που να επιτρέπει όλες τις εξισώσεις του ΒΗΜ να είναι απολύτως ανάλογες με τις αντίστοιχες του ΗΜ. Η απόκλιση στους παράγοντες προκύπτει, επειδή η πηγή του βαρυτικού πεδίου είναι ο δεύτερης τάξης τανυστής τάσης-ενέργειας (stress–energy tensor), σε αντίθεση με την πηγή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που είναι ο πρώτης τάξης τανυστής τετρα-ρευμάτων (four-current tensor). Αυτή η διαφορά γίνεται σαφέστερη, όταν κάποιος συγκρίνει τη μη-μεταβλητότητα της σχετικιστικής μάζας με τη μη-μεταβλητότητα του ηλεκτρικού φορτίου. Αυτό μπορεί να αναχθεί στον "spin-2" χαρακτήρα του βαρυτικού πεδίου, σε αντίθεση με τον ηλεκτρομαγνητισμό, που είναι ένα "spin-1" πεδίο.^[14]

Τα βαρυτικά κύματα έχουν ίσες βαρυτομαγνητικές και βαρυτοηλεκτρικές συνιστώσες.^[15]

Βαρυτομαγνητικά πεδία αστρονομικών αντικειμένων

Η εξίσωση του βαρυτομαγνητικού πεδίου ${\displaystyle \mathbb {B} \ }$ κοντά σε ένα περιστρεφόμενο σώμα μπορεί να παραχθεί από τις ΒΗΜ εξισώσεις και είναι ακριβώς το ήμισυ του ρυθμού μετάπτωσης Λένζε-Tίρρινγκ:

${\displaystyle \mathbb {B} ={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} -3(\mathbf {L} \cdot \mathbf {r} /r)\mathbf {r} /r}{r^{3}}},}$

όπου L είναι η στροφορμή του σώματος και r το διάνυσμα θέσης του παρατηρητή του πεδίου.

Επειδή ${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {r} =Lr\cos \theta }$,

όπου:

• ${\displaystyle L}$ το μέτρο της στροφορμής,
• ${\displaystyle r}$ η απόσταση του παρατηρητή από τον άξονα περιστροφής και
• ${\displaystyle \theta }$ η γωνία, που σχηματίζουν τα διανύσματα θέσης παρατήρησης και στροφορμής,

η παραπάνω εξίσωση ξαναγράφεται ως:

${\displaystyle \mathbb {B} {\text{(r,θ)}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} -3L(\cos \theta )\mathbf {r} /r}{r^{3}}}}$

ή

${\displaystyle \mathbb {B} {\text{(r,φ)}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} -3L(\sin \phi )\mathbf {r} /r}{r^{3}}},}$

όπου ${\displaystyle \phi =90^{\circ }-\theta }$ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα θέσης παρατήρησης με το επίπεδο του Ισημερινού.

Στο ισημερινό επίπεδο, τα διανύσματα r και L είναι κάθετα (${\displaystyle \theta =90^{\circ },\phi =0^{\circ }}$), οπότε το εσωτερικό γινόμενό τους εξαφανίζεται, απλοποιώντας την εξίσωση:

${\displaystyle \mathbb {B} {\text{(r,φ=0)}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} }{r^{3}}},}$

Το μέτρο της στροφορμής ενός ομογενούς, σφαιρικού σώματος είναι:

${\displaystyle L=I_{\text{σφ}}\omega ={\frac {2MR^{2}}{5}}{\frac {2\pi }{T}}}$

όπου:

• ${\displaystyle I_{\text{σφ}}={\frac {2MR^{2}}{5}}}$ είναι η ροπή αδράνειας ενός σφαιρικού, στερεού σώματος (βλέπε: εδώ);
• ${\displaystyle \omega \ }$ είναι η γωνιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου σώματος,
• M η μάζα του περιστρεφόμενου σώματος;
• R η ακτίνα του σώματος;
• T η περίοδος περιστροφής του σώματος.

Οπότε, το μέτρο του βαρυτομαγνητικού πεδίου επί του ισημερινού επιπέδου θα είναι:

${\displaystyle B{\text{(r,φ=0)}}={\frac {2\pi GMR^{2}}{5c^{2}r^{3}T}}}$,

ενώ ακριβώς στον ισημερινό κύκλο του σώματος θα είναι:

${\displaystyle B{\text{(r=R,φ=0)}}={\frac {2\pi GM}{5c^{2}RT}}}$.

Όσον αφορά την κατεύθυνση του βαρυτομαγνητικού πεδίου επί του ισημερινού επιπέδου, αυτή ταυτίζεται με την κατεύθυνση της στροφορμής ή, ισοδύναμα, της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του σώματος.

Βαρυτομαγνητικό πεδίο της Γης

Θεωρώντας ότι η βαρύτητα στον Ισημερινό της Γης είναι ${\displaystyle g=G{\frac {M}{R^{2}}}}$, τότε το μέτρο του γήινου βαρυτομαγνητικού πεδίου στον Ισημερινό θα δίνεται ως:

${\displaystyle B_{\text{Γη}}{\text{(r=R,φ=0)}}={\frac {2\pi gR}{5c^{2}T}}}$.

Η κατεύθυνση του πεδίο συμπίπτει με την κατεύθυνση της στροφορμής, δηλ. από τον νότιο προς το βόρειο πόλο. Όπως προκύπτει από τους υπολογισμούς, η ένταση του γήινου ισημερινού βαρυτομαγνητικού πεδίου είναι περίπου ίσο με 1.012×10⁻¹⁴ Hz,^[16] ή, εναλλακτικά, 3.1×10⁻⁷ g/c. Αντίστοιχα, η ένταση του βαρυτομαγνητικού πεδίου στη γεωστατική τροχιά (που βρίσκεται 35.786 km πάνω από τον Ισημερινό, δηλ r=42.164 km) είναι περίπου ίση με 3.5×10⁻¹⁷ Hz. Τέτοιας έντασης πεδία είναι εξαιρετικά ασθενή και απαιτούν πολύ ευαίσθητα όργανα, για να ανιχνευθούν. Ένα πείραμα μέτρησης τέτοιων πεδίων ήταν η αποστολή του δορυφόρου Gravity Probe B.

Αναφορές

• Για την εργασία του Stuart Shapiro στο Physical Review Letters, 77, 4487 (18 Νοεμβρίου 1996).
  • https://web.archive.org/web/20040405094503/http://www.aip.org/physnews/graphics/html/gravmag.htm
• Για το πείραμα "Gravity Probe B"
  • http://einstein.stanford.edu/
  • https://web.archive.org/web/20050404032736/http://science.nasa.gov/headlines/y2004/19apr_gravitomagnetism.htm

Παραπομπές

1. David Delphenich (2015). «Pre-metric electromagnetism as a path to unification». Unified Field Mechanics: Natural Science Beyond the Veil of Spacetime, Morgan State University, USA, 16–19 November 2014: 215–220. doi:10.1142/9789814719063_0023. ISBN 978-981-4719-05-6. https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789814719063_0023.
2. O. Heaviside (1893). Electromagnetic Theory: A Gravitational and Electromagnetic Analogy. 1. The Electrician. σελίδες 455–464.
3. R. Penrose (1969). «Gravitational collapse: The role of general relativity». Rivista del Nuovo Cimento Numero Speciale 1: 252–276. Bibcode: 1969NCimR...1..252P.
4. R.K. Williams (1995). «Extracting x rays, Ύ rays, and relativistic e⁻e⁺ pairs from supermassive Kerr black holes using the Penrose mechanism». Physical Review 51 (10): 5387–5427. doi:10.1103/PhysRevD.51.5387. PMID 10018300. Bibcode: 1995PhRvD..51.5387W.
5. R.K. Williams (2004). «Collimated escaping vortical polar e⁻e⁺ jets intrinsically produced by rotating black holes and Penrose processes». The Astrophysical Journal 611 (2): 952–963. doi:10.1086/422304. Bibcode: 2004ApJ...611..952W.
6. Danehkar, A. (2020). «Gravitational fields of the magnetic-type». International Journal of Modern Physics D 29 (14): 2043001. doi:10.1142/S0218271820430014. Bibcode: 2020IJMPD..2943001D.
7. R.K. Williams (2005). «Gravitomagnetic field and Penrose scattering processes». 1045, pp. 232–245.
8. R.K. Williams (2001). «Collimated energy–momentum extraction from rotating black holes in quasars and microquasars using the Penrose mechanism». 586, pp. 448–453. doi:10.1063/1.1419591. Bibcode: 2001AIPC..586..448W.
9. Gravitomagnetism in Quantum Mechanics, 2014 https://www.slac.stanford.edu/pubs/slacpubs/14750/slac-pub-14775.pdf
10. Gravitation and Inertia, I. Ciufolini and J.A. Wheeler, Princeton Physics Series, 1995, (ISBN 0-691-03323-4)
11. B. Mashhoon; F. Gronwald; H.I.M. Lichtenegger (2001). «Gravitomagnetism and the Clock Effect». Lect.Notes Phys.. Lecture Notes in Physics 562: 83–108. doi:10.1007/3-540-40988-2_5. ISBN 978-3-540-41236-6. Bibcode: 2001LNP...562...83M.
12. S.J. Clark; R.W. Tucker (2000). «Gauge symmetry and gravito-electromagnetism». Classical and Quantum Gravity 17 (19): 4125–4157. doi:10.1088/0264-9381/17/19/311. Bibcode: 2000CQGra..17.4125C.
13. B. Mashhoon (2008). «Gravitoelectromagnetism: A Brief Review».

    arXiv:gr-qc/0311030

    .
14. B. Mashhoon (2000). Gravitoelectromagnetism. «Reference Frames and Gravitomagnetism». Reference Frames and Gravitomagnetism – Proceedings of the XXIII Spanish Relativity Meeting: 121–132. doi:10.1142/9789812810021_0009. ISBN 978-981-02-4631-0. Bibcode: 2001rfg..conf..121M.
15. Pfister, Herbert, 1936- (24 Φεβρουαρίου 2015). Inertia and gravitation : the fundamental nature and structure of space–time. King, Markus. Cham. σελ. 147. ISBN 978-3-319-15036-9. OCLC 904397831.
16. «2*pi*radius of Earth*earth gravity/(5*c^2*day) – Google Search». google.com.