N-flake

Ένα n-flake (n-νιφάδα), polyflake, ή Σιερπίνσκι n-gon,^[1]:1 είναι ένα φράκταλ που κατασκευάζεται με βάση ένα n-gon. Αυτό το n-gon αντικαθίσταται από μια νιφάδα (flake) μικρότερων n-gons, έτσι ώστε τα κλιμακωτά πολύγωνα να τοποθετούνται στις κορυφές και μερικές φορές στο κέντρο. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται αναδρομικά για να προκύψει το φράκταλ. Συνήθως, υπάρχει επίσης ο περιορισμός ότι τα n-γώνια πρέπει να εφάπτονται αλλά να μην επικαλύπτονται.

Σε δύο διαστάσεις

Η πιο συνηθισμένη ποικιλία n-flake είναι δισδιάστατη (όσον αφορά την τοπολογική της διάσταση) και σχηματίζεται από πολύγωνα. Οι τέσσερις πιο συνηθισμένες ειδικές περιπτώσεις σχηματίζονται με τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα και εξάγωνα, αλλά μπορεί να επεκταθεί σε οποιοδήποτε πολύγωνο.^[1]:2 Το σύνορό της είναι η καμπύλη φον Κοχ ποικίλων τύπων - ανάλογα με το n-gon - και μέσα σε αυτήν περιέχονται άπειρες καμπύλες Κοχ. Τα φράκταλ καταλαμβάνουν μηδενική επιφάνεια αλλά έχουν άπειρη περίμετρο.

Ο τύπος του συντελεστή κλίμακας r για κάθε n-flake είναι:^[2]

${\displaystyle r={\frac {1}{2\left(1+\displaystyle \sum _{k=1}^{\lfloor n/4\rfloor }{\cos {\frac {2\pi k}{n}}}\right)}}}$

όπου το συνημίτονο εκτιμάται σε ακτίνια και n είναι ο αριθμός των πλευρών του n-gon. Η διάσταση Χάουσντορφ μιας n-flake είναι ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log m}{\log r}}}$, όπου m είναι ο αριθμός των πολυγώνων σε κάθε μεμονωμένη νιφάδα και r είναι ο συντελεστής κλίμακας.

Τρίγωνο Σιερπίνσκι

Το τρίγωνο Σιερπίνσκι είναι ένα n-flake που σχηματίζεται από διαδοχικές νιφάδες τριών τριγώνων. Κάθε flake (νιφάδα) σχηματίζεται με την τοποθέτηση τριγώνων με κλίμακα 1/2 σε κάθε γωνία του τριγώνου που αντικαθιστούν. Η διάσταση Χάουσντορφ του είναι ίση με ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}}$ ≈ 1.585. Η ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}}$ προκύπτει επειδή κάθε επανάληψη έχει 3 τρίγωνα που κλιμακώνονται κατά  1/2.

• 
  Η έκτη επανάληψη του τριγώνου Σερπίνσκι.
• 
  Το τρίγωνο Σιερπίνσκι δημιουργείται από το παίγνιο του χάους.

Φρακτάλ του Βίτσεκ

Δείτε επίσης: Χαλί του Σιερπίνσκι

Η πέμπτη επανάληψη του φράκταλ Τάμας Βίτσεκl

Αν κατασκευαζόταν ένα τετράγωνο Σιερπίνσκι από τον συγκεκριμένο ορισμό, ο παράγοντας κλίμακας θα ήταν 1/2 και το φράκταλ θα ήταν απλώς ένα τετράγωνο. Μια πιο ενδιαφέρουσα εναλλακτική λύση, το φράκταλ του Βίτσεκ, που σπάνια ονομάζεται τετραπλεύρως, σχηματίζεται από διαδοχικές flakes πέντε τετραγώνων με κλίμακα 1/3. Κάθε νιφάδα σχηματίζεται είτε τοποθετώντας ένα κλιμακωτό τετράγωνο σε κάθε γωνία και ένα στο κέντρο είτε ένα σε κάθε πλευρά του τετραγώνου και ένα στο κέντρο. Η διάσταση Χάουστορφ της είναι ίση με ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}}$ ≈ 1.4650. Η ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}}$ προκύπτει επειδή κάθε επανάληψη έχει 5 τετράγωνα που κλιμακώνονται κατά 1/3. Το όριο του φράκταλ του Βίτσεκ είναι μια τετραγωνική καμπύλη Κοχ τύπου 1.

Pentaflake

Μεγέθυνση στο όριο του πενταφέγγαρου

Ένα πεντάπλευρο ή πεντάγωνο Σιερπίνσκι σχηματίζεται από διαδοχικές νιφάδες έξι κανονικών πενταγώνων^[3]. Η διάστασή του Χάουστορφ είναι ίση με ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}}$ ≈ 1.8617, όπου ${\displaystyle \textstyle {\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}$ χρυσή τομή. Το ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}}$ προκύπτει επειδή κάθε επανάληψη έχει 6 πεντάγωνα που κλιμακώνονται κατά ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{1+\varphi }}}$. Το όριο ενός πενταφέγγαρου είναι η καμπύλη του Κοχ των 72 μοιρών.

Υπάρχει επίσης μια παραλλαγή του πενταφέγγαρου που δεν έχει κεντρικό πεντάγωνο. Η διάσταση Χάουστορφ του ισούται με ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(1+\varphi )}}}$ ≈ 1.6723. Αυτή η παραλλαγή εξακολουθεί να περιέχει απείρως πολλές καμπύλες του Κοχ, αλλά είναι κάπως πιο ορατές.

• 
• 
  3rd iteration, with center pentagons
• 
  4th iteration, with center pentagons
• 
  5th iteration, with center pentagons

• 
  2nd iteration, without center pentagons
• 
  3rd iteration, without center pentagons
• 
  4th iteration, without center pentagons
• 
  5th iteration, without center pentagons

Ομόκεντρα μοτίβα πλακιδίων σε σχήμα πενταφέγγαρου μπορούν να καλύψουν το επίπεδο, με το κεντρικό σημείο να καλύπτεται από ένα τρίτο σχήμα που σχηματίζεται από τμήματα καμπύλης του Κοχ 72 μοιρών, επίσης με πενταπλή περιστροφική και ανακλαστική συμμετρία.

• 
  Pentaflake πλακάκια. Το κεντρικό σημείο δεν καλύπτεται.
• 
  Pentaflake πλακάκια. Καλύπτεται το κεντρικό σημείο.

Hexaflake

Ένα hexaflake, σχηματίζεται από διαδοχικές νιφάδες επτά κανονικών εξαγώνων^[4]. Κάθε flake σχηματίζεται με την τοποθέτηση ενός κλιμακωτού εξαγώνου σε κάθε γωνία και ενός στο κέντρο. Κάθε επανάληψη έχει 7 εξάγωνα που κλιμακώνονται κατά 1/3. Επομένως, η εξάδα έχει 7ⁿ⁻¹ εξάγωνα στην nth επανάληψή της και η διάσταση Χάουστορφ της είναι ίση με ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}}$ ≈ 1.7712. Το όριο μιας εξαπλής flake είναι η τυπική καμπύλη Κοχ των 60 μοιρών και άπειρες πολλές flakes του Κοχ περιέχονται μέσα σε αυτήν. Επίσης, η προβολή του κύβου Κάντορ στο επίπεδο που είναι ορθογώνιο στην κύρια διαγώνιο του είναι μια εξαπλάκα. Η εξάδα έχει εφαρμοστεί στο σχεδιασμό κεραιών ^[4] και οπτικών ινών^[5].

Όπως και το pentaflake, υπάρχει επίσης μια παραλλαγή του hexaflake, που ονομάζεται εξάγωνο Σιερπίνσκι, το οποίο δεν έχει κεντρικό εξάγωνο^[6] Η διάστασή του Χάουστορφ ισούται με ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(3)}}}$ ≈ 1.6309. Αυτή η παραλλαγή εξακολουθεί να περιέχει απείρως πολλές καμπύλες Κοχ των 60 μοιρών.

• 
  Hexaflake
• 
  Οι πρώτες έξι επαναλήψεις του hexaflake.
• 
  Τέταρτη επανάληψη του εξαγώνου Σερπινσκί.
• 
  Ορθογώνια προβολή ενός κύβου cantor που δείχνει ένα hexaflake.

olyflake

Υπάρχουν επίσης n-flakes υψηλότερων πολυγώνων, αν και είναι λιγότερο συνηθισμένες και συνήθως δεν έχουν κεντρικό πολύγωνο. Μερικά παραδείγματα παρουσιάζονται παρακάτω: η 7-flake έως 12. Αν και μπορεί να μην είναι προφανές, αυτές οι υψηλότερες πολυφέγγιες εξακολουθούν να περιέχουν απείρως πολλές καμπύλες Κοχ, αλλά η γωνία των καμπυλών Κοχ μειώνεται καθώς αυξάνεται το n. Οι διαστάσεις τους Χάουσντορφ είναι ελαφρώς πιο δύσκολο να υπολογιστούν από τις μικρότερες n-flakes , επειδή ο παράγοντας κλίμακας τους είναι λιγότερο προφανής. Ωστόσο, η διάσταση Χάουσντορφ είναι πάντα μικρότερη από δύο αλλά όχι μικρότερη από ένα. Μια ενδιαφέρουσα n-flake είναι η ∞-flake, διότι καθώς αυξάνεται η τιμή του n, η διάσταση Χάουστορφ μιας n-flake πλησιάζει το 1,^[1]:7

• 
  Οι τέσσερις πρώτες επαναλήψεις του heptaflake ή 7-flake.
• 
  Οι τέσσερις πρώτες επαναλήψεις του octoflake ή 8-flake.
• 
  Οι τέσσερις πρώτες επαναλήψεις του enneaflake ή 9-flake.
• 
  Οι πρώτες τέσσερις επαναλήψεις του decaflake ή 10-flake.
• 
  Οι τέσσερις πρώτες επαναλήψεις του hendecaflake ή 11-flake.
• 
  Οι τέσσερις πρώτες επαναλήψεις του dodecaflake ή 12-flake.

Σε τρεις διαστάσεις

Οι n-flakes μπορούν να γενικευτούν σε υψηλότερες διαστάσεις, ιδίως σε τοπολογική διάσταση τριών^[7] . Ωστόσο, ενώ υπάρχει άπειρος αριθμός κανονικών πολυγώνων, υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά, κυρτά πολύεδρα. Εξαιτίας αυτού, οι τρισδιάστατες n-flakes ονομάζονται επίσης πλατωνικά στερεά φράκταλ^[8]. Στις τρεις διαστάσεις, ο όγκος των φράκταλ είναι μηδέν.

Τετράεδρο Σιερπίνσκι

Ένα τετράεδρο Σιερπίνσκι σχηματίζεται από διαδοχικές flakes τεσσάρων κανονικών τετραέδρων. Κάθε flake σχηματίζεται με την τοποθέτηση ενός τετραέδρου με κλίμακα 1/2 σε κάθε γωνία. Η διάσταση Χάουστορφ είναι ίση με ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(4)}{\log(2)}}}$, η οποία είναι ακριβώς ίση με 2. Σε κάθε πλευρά υπάρχει ένα τρίγωνο Σιερπίνσκι και περιέχονται απείρως πολλά.

• 
  Η τρίτη επανάληψη του τετραέδρου Σιερπίνσκι.

Flake εξαέδρου

Ένα εξάεδρο, ή κύβος, που ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως το τετράεδρο Σιερπίνσκι, είναι απλά ένας κύβος^[9] και δεν παρουσιάζει ενδιαφέρον ως φράκταλ. Ωστόσο, υπάρχουν δύο ευχάριστες εναλλακτικές λύσεις. Η μία είναι το σφουγγάρι Μένγκερ, όπου κάθε κύβος αντικαθίσταται από έναν τρισδιάστατο δακτύλιο κύβων. Η διάσταση Χάουσντορφ του είναι ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(20)}{\log(3)}}}$ ≈ 2.7268.

Μια άλλη flake εξαέδρου μπορεί να παραχθεί με τρόπο παρόμοιο με το φράκταλ του Βίτσεκ που επεκτείνεται σε τρεις διαστάσεις. Κάθε κύβος χωρίζεται σε 27 μικρότερους κύβους και ο κεντρικός σταυρός διατηρείται, το οποίο είναι το αντίθετο από το σφουγγάρι του Μένγκερ όπου ο σταυρός αφαιρείται. Ωστόσο, δεν πρόκειται για το συμπλήρωμα του σφουγγαριού Menger. Η διάσταση Χάουσντορφ του είναι ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}}$ ≈ 1.7712, επειδή ένας σταυρός από 7 κύβους, ο καθένας με κλίμακα 1/3, αντικαθιστά κάθε κύβο.

• 
  Η τέταρτη επανάληψη του σφουγγαριού του Μένγκερ.
• 
  Τρίτη επανάληψη του φράκταλ 3Δ Βίτσεκ.

Οκτάεδρο flake

Ένα οκτάεδρο flake, ή οκτάεδρο Σιερπίνσκι, σχηματίζεται από διαδοχικές flakes έξι κανονικών οκταέδρων. Κάθε flake σχηματίζεται με την τοποθέτηση ενός οκτάεδρου με κλίμακα 1/2 σε κάθε γωνία. Η διάσταση Χάουσντορφ είναι ίση με${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(2)}}}$ ≈ 2.5849. Σε κάθε όψη υπάρχει ένα τρίγωνο Σιερπίνσκι και περιέχονται άπειρα πολλά.

• 
  Η τρίτη επανάληψη της οκτάεδρης flake.

Δωδεκάεδρο flake

Ένα δωδεκάεδρο flake, ή δωδεκάεδρο Σιερπίνσκι, σχηματίζεται από διαδοχικές flakes είκοσι κανονικών δωδεκαέδρων. Κάθε flake σχηματίζεται με την τοποθέτηση ενός δωδεκάεδρου με κλίμακα ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2+\varphi }}}$ σε κάθε γωνία. Η διάσταση Hausdorff της είναι ίση με ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(20)}{\log(2+\varphi )}}}$ ≈ 2.3296.

• 
  Η δεύτερη επανάληψη του φράκταλ του δωδεκάεδρου flake.

Ικοσαεδρική flake

Ένα εικοσάεδρο flake, ή εικοσάεδρο Σιερπίνσκι, σχηματίζεται από διαδοχικές νιφάδες δώδεκα κανονικών εικοσάεδρων. Κάθε νιφάδα σχηματίζεται με την τοποθέτηση ενός εικοσάεδρου με κλίμακα ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{1+\varphi }}}$ σε κάθε γωνία. Η διάσταση Hausdorff είναι ίση με ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(12)}{\log(1+\varphi )}}}$ ≈ 2.5819.

• 
  Η τρίτη επανάληψη της νιφάδας φράκταλ (εικοσάεδρο flake).

Δείτε επίσης

• Χαλί του Σιερπίνσκι
• Φτέρη του Μπάρνσλεϊ
• Νιφάδα του Κοχ
• Φρακτάλ της λέξης Fibonacci
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

1. Dennis, Kevin; Schlicker, Steven, Sierpinski n-Gons, http://faculty.gvsu.edu/schlicks/SNGONS4.pdf
2. Riddle, Larry. «Sierpinski n-gons». Ανακτήθηκε στις 9 Μαΐου 2011.
3. Weisstein, Eric W., "Pentaflake" από το MathWorld.
4. Choudhury, S.M.; Matin, M.A. (2012), «Effect of FSS ground plane on second iteration of hexaflake fractal patch antenna», 7th International Conference onElectrical Computer Engineering (ICECE 2012), σελ. 694–697, doi:10.1109/ICECE.2012.6471645.
5. Lai, Zheng-Xuan (2012), Self-similar optical fibers, Ph.D. thesis, Syracuse University, L. C. Smith College of Electrical Engineering and Computer Science, http://surface.syr.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1328&context=eecs_etd&sei-redir=1.
6. Devaney, Robert L. (November 2004), «Chaos rules!», Math Horizons: 11–13, http://www.maa.org/sites/default/files/images/images/upload_library/22/Evans/november_2004_11.pdf.
7. Kunnen, Aimee; Schlicker, Steven, Regular Sierpinski Polyhedra, http://faculty.gvsu.edu/schlicks/phdra.pdf
8. Paul Bourke (Δεκεμβρίου 2005). «Platonic solid fractals and their complements». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Δεκεμβρίου 2014. Ανακτήθηκε στις 4 Δεκεμβρίου 2014.
9. Kunnen, Aimee; Schlicker, Steven, Regular Sierpinski Polyhedra, σελ. 3, http://faculty.gvsu.edu/schlicks/phdra.pdf