![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Blue-Gold_Mandelbrot_Set.jpg/640px-Blue-Gold_Mandelbrot_Set.jpg&w=640&q=50)
Σύνολο Μάντελμπροτ
φράκταλ / From Wikipedia, the free encyclopedia
Το Σύνολο Μάντελμπροτ [1] είναι ένα δισδιάστατο σύνολο με έναν σχετικά απλό ορισμό που παρουσιάζει μεγάλη πολυπλοκότητα, ειδικά καθώς μεγεθύνεται. Είναι δημοφιλές για την αισθητική του και τις µορφοκλασµατικές δοµές του. Το σύνολο ορίζεται στο μιγαδικό επίπεδο ως οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους η συνάρτηση
δεν αποκλίνει στο άπειρο όταν η επανάληψη ξεκινά από το
, δηλ, για την οποία η ακολουθία
,
, κ.λπ. παραμένει περιορισμένη στην απόλυτη τιμή.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Blue-Gold_Mandelbrot_Set.jpg/640px-Blue-Gold_Mandelbrot_Set.jpg)
Το σύνολο αυτό ορίστηκε και σχεδιάστηκε για πρώτη φορά από τους Ρόμπερτ Γ. Μπρουκς και Πίτερ Ματέλσκι το 1978, στο πλαίσιο μιας μελέτης των ομάδων Κλάιν[2]. Στη συνέχεια, το 1980, ο Μπενουά Μάντελμπροτ απέκτησε υψηλής ποιότητας απεικονίσεις του συνόλου, ενώ εργαζόταν στο ερευνητικό κέντρο Τόμας Τζ. Γουάτσον στο Γιόρκταουν Χάιτς της Νέας Υόρκης.
Οι εικόνες του συνόλου Μάντελμπροτ παρουσιάζουν ένα απείρως περίπλοκο όριο που αποκαλύπτει προοδευτικά όλο και πιο λεπτομερείς αναδρομικές λεπτομέρειες σε αυξανόμενες μεγεθύνσεις. Μαθηματικά, το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ είναι μια καμπύλη φράκταλ. Το "στυλ" αυτής της αναδρομικής λεπτομέρειας εξαρτάται από την περιοχή του ορίου του συνόλου που εξετάζεται. Οι εικόνες του συνόλου Μάντελμπροτ μπορούν να δημιουργηθούν με τη δειγματοληψία των μιγαδικών αριθμών και τον έλεγχο, για κάθε σημείο του δείγματος , εάν η ακολουθία
πηγαίνει προς το άπειρο. Αντιμετωπίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του
ως συντεταγμένες εικόνας στο μιγαδικό επίπεδο, τα εικονοστοιχεία μπορούν στη συνέχεια να χρωματιστούν ανάλογα με το πόσο σύντομα η ακολουθία
διασχίζει ένα αυθαίρετα επιλεγμένο κατώφλι (το κατώφλι πρέπει να είναι τουλάχιστον 2, επειδή το -2 είναι ο μιγαδικός αριθμός με το μεγαλύτερο μέγεθος στο σύνολο, αλλά διαφορετικά το κατώφλι είναι αυθαίρετο). Αν το
διατηρηθεί σταθερό και μεταβληθεί η αρχική τιμή του
, λαμβάνουμε το σύνολο Julia που αντιστοιχεί στο σημείο
.
Το σύνολο Μάντελμπροτ έχει γίνει δημοφιλές και εκτός των μαθηματικών, τόσο για την αισθητική του όσο και ως παράδειγμα σύνθετης δομής που προκύπτει από την εφαρμογή απλών κανόνων. Είναι ένα από τα πιο γνωστά παραδείγματα μαθηματικής οπτικοποίησης, μαθηματικού κάλλους και μοτίβου.