From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, ο σπόγγος του Μένγκερ (επίσης γνωστός ως κύβος του Μένγκερ, καθολική καμπύλη του Μένγκερ, κύβος Ζιρπίνσκι, ή σφουγγάρι Ζιρπίνσκι)[1][2][3] είναι ένα καμπυλωτό φράκταλ. Είναι μια τρισδιάστατη γενίκευση του μονοδιάστατου σύνολου Καντόρ και δισδιάστατου χαλιού Ζιρπίνσκι. Περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Καρλ Μένγκερ το 1926, στις μελέτες για την έννοια της τοπολογικής διάστασης.[4][5]
Το ν στάδιο του σπόγγου του Μένγκερ, Mν, αποτελείται από 20ν μικρότερους κύβους, το καθένα με μήκος πλευράς (1/3)ν. Ο συνολικός όγκος των M,ν είναι έτσι (20/27)ν. Η συνολική επιφάνεια των M,ν , δίνεται από την έκφραση 2(20/9)ν + 4(8/9)n.[6][7] Συνεπώς, η κατασκευή του όγκου τείνει στο μηδέν, ενώ η επιφάνεια αυξάνει χωρίς όριο. Ακόμη επιλεγμένη επιφάνεια της κατασκευής θα είναι καλά τρυπημένη όπως η κατασκευή συνεχίζεται, έτσι ώστε το όριο δεν είναι ούτε στερεό ούτε μία επιφάνεια, έχει τοπολογική διάσταση 1 και είναι, κατά συνέπεια, προσδιορίζονται ως καμπύλη.
Κάθε έδρα της κατασκευής γίνεται Χαλί του Σιερπίνσκι και το σημείο τομής των σφουγγαριών με κάθε διαγώνιο του κύβου ή οποιοδήποτε μέσον της έδρας είναι σύνολο Καντόρ. Η διατομή του σφουγγαριού μέσα από το κέντρο βάρους είναι κάθετο σε ένα διαγωνικό χώρο. Είναι κανονικό εξάγωνο τρυπημένο με εξάγραμμα τοποθετημένα σε εξαπλή συμμετρία.[8] Ο αριθμός αυτών των εξαγράμμων, κατά φθίνουσα μέγεθος, δίνεται από με , με [9] .
Η διάσταση Χάουσντορφ του σπόγγου του Μένγκερ είναι log 20log 3 ≅ 2.727. Η διάσταση καμπύλης Λεμπέσκ του σπόγγου του Μένγκερ είναι ένα, και είναι το ίδιο με κάθε καμπύλη.<
Τυπικά, ένα σπόγγος του Μένγκερ μπορεί να οριστεί ως εξής:
όπου είναι ο μοναδιαίος κύβος και
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.