Οσόεδρο

Στη γεωμετρία, το n-γωνο οσόεδρο είναι μια ψηφιδοθέτηση μηνίσκων πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια, έτσι ώστε να μοιράζονται όλοι τις ίδιες δύο πολικά αντίθετες κορυφές.^[1]

Σύνολο κανονικών n-γωνικών οσοέδρων
Παράδειγμα εξαγωνικού οσοέδρου πάνω σε σφαίρα
Τύπος	Κανονικό πολύεδρο ή Σφαιρική πλακόστρωση
Χαρακτηριστική Όιλερ	2
Έδρες	n δίγωνα
Ακμές	n
Κορυφές	2
Διαμόρφωση κορυφής	2n
Σύμβολο Σλέφλι (Schläfli)	{2,n}
Σύμβολο Βάιτχοφ (Wythoff)	n | 2 2
Διάγραμμα Κόξετερ
Ομάδα συμμετρίας	Dnh, [2,n], (*22n), τάξης 4n
Ομάδα περιστροφής	Dn, [2,n]+, (22n), τάξης 2n
Δυϊκό	δίεδρο

Το τόπι αυτό μοιάζει με οσόεδρο έξι εδρών, αν αφαιρεθούν οι λευκοί κύκλοι από τους πόλους του.

Το κανονικό n-γωνικό οσόεδρο έχει σύμβολο Schläfli {2, n}, με κάθε σφαιρικό μηνίσκο του να έχει εσωτερική γωνία 2π/n ακτίνια (360°/n).^[2][3]

Ετυμολογία

Ο όρος «οσόεδρο» επινοήθηκε από τον Χάρολντ Σκοτ ΜακΝτόναλντ Κόξετερ (Harold Scott MacDonald Coxeter) και πιθανότατα προέρχεται από την ελληνική λέξη «όσο» (αρχαία ελληνικά: ὅσον), η ιδέα είναι ότι το πολύεδρο αυτό μπορεί να έχει «όσες έδρες επιθυμούμε».^[4]

Οσόεδρα ως κανονικά πολύεδρα

Για ένα κανονικό πολύεδρο που έχει σύμβολο Schläfli {m, n}, το πλήθος των πολυγωνικών εδρών του μπορεί να βρεθεί από τον τύπο:

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}}$

Τα γνωστά από τους αρχαίους χρόνους Πλατωνικά στερεά είναι οι μόνες ακέραιες λύσεις για m ≥ 3 και n ≥ 3. Ο περιορισμός m ≥ 3 συνεπάγεται ότι οι πολυγωνικές έδρες πρέπει να έχουν τουλάχιστον τρεις πλευρές.

Όταν εξετάζονται τα πολύεδρα ως σφαιρική πλακόστρωση, ο περιορισμός αυτός μπορεί να είναι χαλαρός, δεδομένου ότι τα δίγωνα μπορούν να παρασταθούν ως σφαιρικοί μηνίσκοι, που έχουν μη μηδενικό εμβαδόν. Επιτρέποντας το m = 2 ορίζεται μια νέα τάξη άπειρων κανονικών πολυέδρων, τα οποία είναι τα οσόεδρα. Σε μια σφαιρική επιφάνεια, το πολύεδρο {2, n} αναπαρίσταται ως n εφαπτόμενοι σφαιρικοί μηνίσκοι, με εσωτερικές γωνίες 2π/n, όπου όλοι αυτοί οι μηνίσκοι μοιράζονται δύο κοινές κορυφές.

Το κανονικό τριγωνικό οσόεδρο , {2,3}, αναπαρίσταται ως ψηφιδοθέτηση τριών σφαιρικών μηνίσκων πάνω σε μια σφαίρα.

Το κανονικό τετραγωνικό οσόεδρο, αναπαρίσταται ως ψηφιδοθέτηση τεσσάρων σφαιρικών μηνίσκων πάνω σε μια σφαίρα.

Κανονικά οσόεδρα (με 2 κορυφές)

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...
Εικόνα
{2,n}	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}	{2,9}	{2,10}	{2,11}	{2,12}
Coxeter

Καλειδοσκοπική συμμετρία

Οι διγωνικές έδρες (σφαιρικοί μηνίσκοι) ενός 2n-οσοέδρου, {2,2n}, αναπαριστούν το θεμελιώδες πεδίο ορισμού της διεδρικής συμμετρίας σε τρεις διαστάσεις· C_nv, [n], (*nn), τάξης 2n. Τα συμμετρικά πεδία εμφανίζονται με εναλλαγή χρωμάτων στους μηνίσκους. Η διχοτόμηση των σφαιρικών μηνίσκων σε δύο σφαιρικά τρίγωνα δημιουργεί διπυραμίδες και ορίζει διεδρική συμμετρία D_nh, τάξης 4n.

Συμμετρία	C1v, [ ]	C2v, [2]	C3v, [3]	C4v, [4]	C5v, [5]	C6v, [6]	...
Οσόεδρο	{2,2}	{2,4}	{2,6}	{2,8}	{2,10}	{2,12}
Θεμελιώδη πεδία

Σχέση με το στερεό του Στάινμετζ

Το τετραγωνικό οσόεδρο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με το στερεό του Στάινμετζ, που ονομάζει δικύλινδρο και είναι η τομή δύο κυλίνδρων σε ορθή γωνία.^[5]

Παράγωγα πολύεδρα

Το δυϊκό ενός n-γωνικού οσοέδρου {2, n} είναι το n-γωνικό δίεδρο, {n, 2}. Το πολύεδρο {2,2} είναι αυτοδυϊκό, δηλαδή οσόεδρο και δίεδρο ταυτοχρόνως.

Ένα οσόεδρο μπορεί να τροποποιηθεί τοιουτοτρόπως με τα άλλα πολύεδρα για να παραχθεί μια κόλουρη παραλλαγή του. Το κόλουρο n-γωνικό οσόεδρο είναι το n-γωνικό πρίσμα.

Απειρογωνικό οσόεδρο

Οριακά το οσόεδρο γίνεται απειρογωνικό οσόεδρο ως ψηφιδοθέτηση δύο διαστάσεων:

Οσότοπο

Κατ' αναλογία ένα πολυδιάστατο οσόεδρο ονομάζονται γενικά οσότοπο. Τα κανονικά οσότοπα με Schläfli συμβολισμό {2,p,...,q} έχουν δύο κορυφές, που η καθεμία έχει σχήμα κορυφής {p,...,q}.

Το οσότοπο δύο διαστάσεων είναι το δίγωνο και συμβολίζεται με {2}.

Δείτε επίσης

• Πολύεδρο
• Πολύτοπο

Παραπομπές

1. Weisstein, Eric W., "Hosohedron" από το MathWorld.
2. Coxeter, Regular polytopes, σελ. 12.
3. Abstract Regular polytopes, σελ. 161.
4. Schwartzman (1994), σσ. 108–109.
5. Weisstein, Eric W., "Steinmetz Solid" από το MathWorld.

Πηγές

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Οσόεδρο

• Coxeter, Harold Scott MacDonald, Regular Polytopes (3η έκδοση), Dover Publications Inc, ISBN 0-486-61480-8
• McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002), Abstract Regular Polytopes (1η έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0
• Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. ISBN 978-0-88385-511-9.