From Wikipedia, the free encyclopedia
Η απαριθμητική γεωμετρία[1] είναι ένας κλάδος των μαθηματικών, και πιο συγκεκριμένα της αλγεβρικής γεωμετρίας, ο οποίος μελετά τον αριθμό των λύσεων σε γεωμετρικά ερωτήματα, χρησιμοποιώντας κυρίως τις μεθόδους της θεωρίας των τομών.
Το Απολλώνιο πρόβλημα είναι ένα από τα πρώτα παραδείγματα απαριθμητικής γεωμετρίας. Το πρόβλημα αυτό ζητά τον αριθμό και την κατασκευή των κύκλων που εφάπτονται σε τρεις δεδομένους κύκλους, σημεία ή γραμμές. Γενικά, το πρόβλημα για τρεις δεδομένους κύκλους έχει οκτώ λύσεις, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως 23, καθώς κάθε συνθήκη εφαπτομένων αντιστοιχεί σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού στο χώρο των κύκλων. Ωστόσο, για ειδικές διατάξεις των δοσμένων κύκλων, ο αριθμός των λύσεων μπορεί επίσης να είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός από 0 (καμία λύση) έως έξι- δεν υπάρχει διάταξη για την οποία να υπάρχουν επτά λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα.
Μια σειρά από εργαλεία, από τα στοιχειώδη έως τα πιο προηγμένα, περιλαμβάνουν:
Η απαριθμητική γεωμετρία είναι πολύ στενά συνδεδεμένη με τη θεωρία των τομών[6].
Η απαριθμητική γεωμετρία γνώρισε θεαματική ανάπτυξη στα τέλη του 19ου αιώνα, μετά το έργο του Χέρμαν Σούμπερτ[7]. Για τον σκοπό αυτό, εισήγαγε τον λογισμό Σούμπερτ, ο οποίος θα αποδεικνυόταν χρήσιμος για ευρύτερα γεωμετρικά και τοπολογικά ζητήματα. Ο αυστηρός ορισμός των αριθμών τομής του Αντρέ Βέιλ αποτέλεσε μέρος του προγράμματός του για την επανίδρυση της αλγεβρικής γεωμετρίας από το 1942 και μετά, αλλά δεν έλυσε όλα τα ζητήματα της απαριθμητικής γεωμετρίας.
Η αφελής εφαρμογή της καταμέτρησης διαστάσεων και του θεωρήματος του Μπεζούτ οδηγεί σε λανθασμένα αποτελέσματα, όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγμα. Ως απάντηση σε αυτά τα προβλήματα, οι αλγεβρικοί γεωμέτρες εισήγαγαν ασαφείς "παράγοντες Φάτζε (fudge)", οι οποίοι τεκμηριώθηκαν αυστηρά μόνο δεκαετίες αργότερα.
Ως παράδειγμα, ας μετρήσουμε τις κωνικές τομές που εφάπτονται σε πέντε δεδομένες ευθείες στο προβολικό επίπεδο.[8] Οι κωνικές συνιστούν έναν προβολικό χώρο διάστασης 5, λαμβάνοντας τους έξι συντελεστές τους ως ομογενείς συντεταγμένες, και πέντε σημεία καθορίζουν μια κωνική, αν τα σημεία βρίσκονται σε γενική γραμμική θέση, καθώς η διέλευση από ένα δεδομένο σημείο επιβάλλει μια γραμμική συνθήκη. Ομοίως, η εφαπτομένη σε μια δεδομένη ευθεία L (εφαπτομένη είναι η τομή με πολλαπλότητα δύο) είναι μια τετραγωνική συνθήκη, οπότε προσδιορίζεται ένα τετράγωνο στον P5. Ωστόσο, το γραμμικό σύστημα διαιρέσεων που αποτελείται από όλα αυτά τα τετράγωνα δεν είναι χωρίς τόπο βάσης. Στην πραγματικότητα κάθε τέτοιο τετράγωνο περιέχει την επιφάνεια Βερονέζ, η οποία παραμετροποιεί τις κωνικές
που ονομάζονται "διπλές γραμμές". Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μια διπλή γραμμή τέμνει κάθε γραμμή στο επίπεδο, αφού οι γραμμές στο προβολικό επίπεδο τέμνονται, με πολλαπλότητα δύο επειδή είναι διπλή, και έτσι ικανοποιεί την ίδια συνθήκη τομής (τομή πολλαπλότητας δύο) με μια μη εκφυλισμένη κωνική που είναι εφαπτόμενη στην γραμμή.
Το γενικό θεώρημα του Μπεζούτ δηλώνει ότι 5 γενικά τετράγωνα στον 5-χώρο θα τέμνονται σε 32 = 25 σημεία. Αλλά τα σχετικά τετράγωνα εδώ δεν είναι σε γενική θέση. Από το 32 πρέπει να αφαιρεθεί το 31 και να αποδοθεί στο Βερονέζ, για να μείνει η σωστή απάντηση (από την άποψη της γεωμετρίας), δηλαδή το 1. Αυτή η διαδικασία απόδοσης των τομών σε "εκφυλισμένες" περιπτώσεις είναι μια τυπική γεωμετρική εισαγωγή ενός "παράγοντα fudge".
Ένας από τους στόχους του δέκατου πέμπτου προβλήματος του Χίλμπερτ ήταν η κατανόηση και η συστηματοποίηση της φαινομενικά αυθαίρετης πτυχής αυτών των διορθώσεων- το ζήτημα αυτό επιλύθηκε ουσιαστικά από τον φαν ντερ Βέρντεν[9] το 1930.
Το 1984 ο Χ. Κλέμενς μελέτησε την καταμέτρηση του αριθμού των ορθολογικών καμπυλών σε μια πεμπτοειδή τριπλότητα και κατέληξε στην ακόλουθη εικασία.
Αυτή η εικασία έχει επιλυθεί στην περίπτωση , αλλά παραμένει ανοικτή για υψηλότερα .
Το 1991 η εργασία[10] σχετικά με την κατοπτρική συμμετρία στην πενταπλή τριπλότητα στο από την άποψη της θεωρίας των χορδών δίνει αριθμούς ρητών καμπυλών βαθμού d στο για όλα τα . Προηγουμένως, οι αλγεβρικοί γεωμέτρες μπορούσαν να υπολογίσουν αυτούς τους αριθμούς μόνο για .
Μερικά από τα ιστορικά σημαντικά παραδείγματα απαριθμήσεων στην αλγεβρική γεωμετρία περιλαμβάνουν:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.