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Konzept der mathematischen Statistik Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Verteilungsfreiheit ist ein Konzept der mathematischen Statistik, welches formalisiert, dass aus gewissen Mengensystemen oder mittels gewisser messbarer Abbildungen keine Informationen extrahiert werden können, sie sind also uninformativ. Somit ist die Verteilungsfreiheit das Gegenstück zur Suffizienz, die formalisiert, dass alle relevanten Daten extrahiert werden können. Wie auch bei der Suffizienz unterscheidet man in verteilungsfreie σ-Algebren und verteilungsfreie Statistiken.
Gegeben sei ein statistisches Modell mit Verteilungsklasse .
Ist eine σ-Algebra, so heißt eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich , wenn
gilt.
Bezeichnet man mit die Einschränkung des Definitionsbereiches des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die σ-Algebra , so gilt für eine Verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich also
Die Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich also nicht anhand ihrer Werte auf unterscheiden.
Eine Statistik
heißt genau dann eine verteilungsfreie Statistik, wenn die von erzeugte σ-Algebra eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich ist. Äquivalent dazu ist, dass die von der Statistik erzeugten Bildmaße von alle identisch sind.
Die drei Sätze von Basu stellen einen Zusammenhang her zwischen den Begriffen der Verteilungsfreiheit, der Suffizienz und der Vollständigkeit. Verkürzt lauten sie:
Eine Verallgemeinerung einer verteilungsfreien Statistik ist eine Pivotstatistik. Diese finden bei der Konstruktion von Bereichsschätzern und somit bei der Bestimmung von Konfidenzbereichen Anwendung.
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