Loading AI tools
spezielle Funktion in der mathematischen Statistik Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine Pivotstatistik, auch Pivot-Größe genannt, kurz ein Pivot, ist eine spezielle Funktion in der mathematischen Statistik. Es handelt sich um Statistiken mit bestimmten Invarianzeigenschaften, die zur Konstruktion von Konfidenzbereichen verwendet werden. Der Name leitet sich ab vom französischen pivot (deutsch Anker, hier im Sinne von Dreh- und Angelpunkt)[1] und beruht auf den Invarianzeigenschaften.
Gegeben sei ein statistisches Modell
Ein Pivot ist eine Zufallsvariable als Funktion von der Stichprobenvariable und , deren Verteilung unabhängig von ist.[2]
Streng formell wird eine Pivotstatistik wie folgt definiert: Gegeben seien ein Entscheidungsraum und eine zu schätzende Funktion
Meist ist . Dann heißt eine messbare Abbildung
eine Pivotstatistik für , wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:[3]
Gegeben sei ein festes und sei die Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz . Sei das n-fache Produktmaß.
Betrachtet wird als statistisches Modell das Produktmodell bei fester Varianz und unbekanntem Erwartungswert.
Dann ist eine Pivot-Statistik gegeben durch
Hierbei ist
das Stichprobenmittel. Dass es sich um ein Pivot handelt, folgt direkt aus den Rechenregeln für normalverteilte Zufallsvariablen (siehe Invarianz der Normalverteilung gegenüber Faltung), denn es ist . Durch Normierung mit der Standardabweichung erhält man, dass immer standardnormalverteilt ist, also für alle .
Existiert eine Pivotstatistik und ist eine Menge gegeben, so wird durch
ein Bereichsschätzer definiert.[3] Aufgrund der Definition des Bereichsschätzers ist dann
und somit
für alle aufgrund der Pivoteigenschaft von . Der Bereichsschätzer liefert also einen Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau . Die Wahl der Menge bestimmt somit Konfidenzniveau und Geometrie des Konfidenzbereiches.
Unter denselben Rahmenbedingungen wie im obigen Beispiel soll ein Konfidenzbereich für den Mittelwert zum Konfidenzniveau bestimmt werden. Da ist, muss zuerst eine Menge gewählt werden, so dass
Die Wahl von hängt im Wesentlichen von der Anwendung ab. Gängig sind einseitige Konfidenzintervalle
oder zweiseitige Konfidenzintervalle
Dabei müssen nun so gewählt werden, dass für ist. Dafür wählt man die passenden -Quantile der Standardnormalverteilung aus und erhält sowie und .
Damit ergibt sich für den Bereichsschätzer mit der Menge
da aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung gilt.
Als einseitiges Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau für den Erwartungswert erhält man somit
Durch analoges Vorgehen mit den Mengen und erhält man als zweites einseitiges Konfidenzintervall
und als beidseitiges Konfidenzintervall
Eng mit den Pivotstatistiken sind die approximativen Pivotstatistiken verwandt. Sie dienen der Konstruktion von approximativen Konfidenzbereichen und beruhen auf Grenzwertbetrachtungen.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.