Ungleichung von Popoviciu

Die Ungleichung von Popoviciu (englisch Popoviciu’s inequality) ist ein Lehrsatz der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Die Ungleichung, welche einer Arbeit des rumänischen Mathematikers Tiberiu Popoviciu (1906–1975)^[1] aus dem Jahre 1965 entstammt, stellt eine charakteristische Eigenschaft stetiger konvexer Funktionen auf reellen Intervallen dar. Sie lässt sich als Folgerung aus dem Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya gewinnen.^[2]

Formulierung

Der Lehrsatz lässt sich angeben wie folgt:^[3]

Gegeben seien ein beliebiges reelles Intervall ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ und eine stetige reelle Funktion ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$.

Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig:

(B_1) ${\displaystyle f}$ ist eine konvexe Funktion.

(B_2) Je drei reelle Zahlen ${\displaystyle x,y,z\in I}$ erfüllen die Ungleichung

${\displaystyle {\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\geq {\frac {2}{3}}\cdot {\bigl [}f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right){\bigr ]}}$  .

Dabei ist ${\displaystyle f}$ streng konvex dann und nur dann, wenn für je drei ${\displaystyle x,y,z\in I}$, vom Fall ${\displaystyle x=y=z}$ abgesehen, die obige Ungleichung mit dem Vergleichszeichen ${\displaystyle >}$ anstelle des Vergleichszeichens ${\displaystyle \geq }$ gilt.

Zwei Ungleichungen als Anwendung

Mit Hilfe von Popovicius Ungleichung lassen sich unter anderem die folgenden beiden herleiten:^[4]

Für je drei reelle Zahlen ${\displaystyle a,b,c>0}$, welche nicht alle gleich sind, gilt stets:

(1) ${\displaystyle 27(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}>64abc(a+b+c)^{3}}$  .

(2) ${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+3a^{2}b^{2}c^{2}>2\left(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\right)}$  .

Allgemeinere Ungleichungen, Integralversion

Tiberiu Popoviciu gab in der Arbeit von 1965 seine Ungleichung in einer noch allgemeineren Fassung an, welche in der Folge – insbesondere durch Petar M. Vasić und Ljubomir R. Stanković^[5] – noch erweitert wurde.^[6] Andere Autoren fanden weitere Verallgemeinerungen und Abwandlungen. Nicht zuletzt wurde die Ungleichung von Popoviciu auch in eine Integralversion übertragen.^[7]

Weitere Ungleichung von Popoviciu

Mit dem Namen von Tiberiu Popoviciu sind einige weitere Ungleichungen verbunden und insbesondere die folgende, welche eine Verallgemeinerung einer bekannten Ungleichung von János Aczél darstellt:^[8][9]

Gegeben seien reelle Zahlen ${\displaystyle p,q>1{\text{ mit }}{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ sowie (zu einer gegebenen natürlichen Zahl ${\displaystyle n\geq 2}$) zwei ${\displaystyle n}$-Tupel ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ und ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ positiver reeller Zahlen.

Weiter seien ${\displaystyle {a_{1}}^{p}-{a_{2}}^{p}-\ldots -{a_{n}}^{p}>0}$ und ${\displaystyle {b_{1}}^{q}-{b_{2}}^{q}-\ldots -{b_{n}}^{q}>0}$  .

Dann gilt:

${\displaystyle \left({a_{1}}^{p}-{a_{2}}^{p}-\ldots -{a_{n}}^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\left({b_{1}}^{q}-{b_{2}}^{q}-\ldots -{b_{n}}^{q}\right)^{\tfrac {1}{q}}\leq a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-\ldots -a_{n}b_{n}}$  .

Ungleichung von Aczél

Im Falle ${\displaystyle p=q=2}$ ergibt sich als Sonderfall dieser Ungleichung von Popoviciu die erwähnte Ungleichung von Aczél, welche dann sogar unter weiter verallgemeinerten Voraussetzungen Geltung hat:^[10]

Für je zwei ${\displaystyle n}$-Tupel ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ und ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ reeller Zahlen derart, dass ${\displaystyle {a_{1}}^{2}-{a_{2}}^{2}-\ldots -{a_{n}}^{2}>0}$ ODER ${\displaystyle {b_{1}}^{2}-{b_{2}}^{2}-\ldots -{b_{n}}^{2}>0}$ gilt, hat man stets die Abschätzung

${\displaystyle \left({a_{1}}^{2}-{a_{2}}^{2}-\ldots -{a_{n}}^{2}\right)\left({b_{1}}^{2}-{b_{2}}^{2}-\ldots -{b_{n}}^{2}\right)\leq \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-\ldots -a_{n}b_{n}\right)^{2}}$ .

Literatur

• János Aczél: Einige allgemeine Methoden in der Theorie der Funktionalgleichungen einer Veränderlichen. Neue Anwendungen der Funktionalgleichungen (russisch). In: Usp. Mat. Nauk. Band 11, 1956, S. 3–68 (Eintrag 0070.34903 in der Datenbank zbMATH Open).
• Marcela V. Mihai, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis: New extensions of Popoviciu's inequality. In: Mediterranean Journal of Mathematics. Band 13, 2016, S. 3121–3133 (Eintrag 1353.26007 in der Datenbank zbMATH Open).
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (Eintrag 0199.38101 in der Datenbank zbMATH Open).
• Constantin Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach (= CMS Books in Mathematics. Band 23). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-24300-9 (Eintrag 1100.26002 in der Datenbank zbMATH Open).
• Constantin P. Niculescu: The integral version of Popoviciu's inequality. In: Journal of Mathematical Inequalities. Band 3, 2009, S. 323–328 (Eintrag 1100.26002 in der Datenbank zbMATH Open).
• T. Popoviciu: Sur quelques inégalités. In: Gaz. Mat. Fiz. Ser. A. Band 11 (64), 1959, S. 451–461 (Eintrag 0101.04101 in der Datenbank zbMATH Open).
• Tiberiu Popoviciu: Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes. In: Analele Ştiințifice Univ. “Al. I. Cuza”, Iasi, Secția Mat. [Neue Serie]. Band 11, 1965, S. 155–164 (Eintrag 0166.06303 in der Datenbank zbMATH Open).
• Shanhe Wu: Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality. In: Computers & Mathematics with Applications. Band 56, 2008, S. 1196–1205, doi:10.1016/j.camwa.2008.02.021 (Eintrag 1155.26313 in der Datenbank zbMATH Open).