Ungleichung von Popoviciu

Die Ungleichung von Popoviciu (englisch Popoviciu’s inequality) ist ein Lehrsatz der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Die Ungleichung, welche einer Arbeit des rumänischen Mathematikers Tiberiu Popoviciu (1906–1975)^[1] aus dem Jahre 1965 entstammt, stellt eine charakteristische Eigenschaft stetiger konvexer Funktionen auf reellen Intervallen dar. Sie lässt sich als Folgerung aus dem Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya gewinnen.^[2]

Formulierung

Der Lehrsatz lässt sich angeben wie folgt:^[3]

Gegeben seien ein beliebiges reelles Intervall ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ und eine stetige reelle Funktion ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$.

Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig:

(B_1) ${\displaystyle f}$ ist eine konvexe Funktion.

(B_2) Je drei reelle Zahlen ${\displaystyle x,y,z\in I}$ erfüllen die Ungleichung

${\displaystyle {\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\geq {\frac {2}{3}}\cdot {\bigl [}f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right){\bigr ]}}$  .

Dabei ist ${\displaystyle f}$ streng konvex dann und nur dann, wenn für je drei ${\displaystyle x,y,z\in I}$, vom Fall ${\displaystyle x=y=z}$ abgesehen, die obige Ungleichung mit dem Vergleichszeichen ${\displaystyle >}$ anstelle des Vergleichszeichens ${\displaystyle \geq }$ gilt.

Zwei Ungleichungen als Anwendung

Mit Hilfe von Popovicius Ungleichung lassen sich unter anderem die folgenden beiden herleiten:^[4]

Für je drei reelle Zahlen ${\displaystyle a,b,c>0}$, welche nicht alle gleich sind, gilt stets:

(1) ${\displaystyle 27(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}>64abc(a+b+c)^{3}}$  .

(2) ${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+3a^{2}b^{2}c^{2}>2\left(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\right)}$  .

Allgemeinere Ungleichungen, Integralversion

Tiberiu Popoviciu gab in der Arbeit von 1965 seine Ungleichung in einer noch allgemeineren Fassung an, welche in der Folge – insbesondere durch Petar M. Vasić und Ljubomir R. Stanković – noch erweitert wurde.^[5] Andere Autoren fanden weitere Verallgemeinerungen und Abwandlungen.^[6] Nicht zuletzt wurde die Ungleichung von Popoviciu auch in eine Integralversion übertragen.^[7]

Weitere Ungleichung von Popoviciu

Mit dem Namen von Tiberiu Popoviciu sind einige weitere Ungleichungen verbunden und insbesondere die folgende, welche eine Verallgemeinerung einer bekannten Ungleichung von János Aczél darstellt:^[8][9]

Gegeben seien reelle Zahlen ${\displaystyle p,q>1{\text{ mit }}{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ sowie (zu einer gegebenen natürlichen Zahl ${\displaystyle n\geq 2}$) zwei ${\displaystyle n}$-Tupel ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ und ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ positiver reeller Zahlen.

Weiter seien ${\displaystyle {a_{1}}^{p}-{a_{2}}^{p}-\ldots -{a_{n}}^{p}>0}$ und ${\displaystyle {b_{1}}^{q}-{b_{2}}^{q}-\ldots -{b_{n}}^{q}>0}$  .

Dann gilt:

${\displaystyle \left({a_{1}}^{p}-{a_{2}}^{p}-\ldots -{a_{n}}^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\left({b_{1}}^{q}-{b_{2}}^{q}-\ldots -{b_{n}}^{q}\right)^{\tfrac {1}{q}}\leq a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-\ldots -a_{n}b_{n}}$  .^[10]

Literatur

• Marcela V. Mihai, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis: New extensions of Popoviciu's inequality. In: Mediterranean Journal of Mathematics. Band 13, 2016, S. 3121–3133 (MR3554298).
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).
• Constantin Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach (= CMS Books in Mathematics. Band 23). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-24300-9 (MR2178902).
• Constantin P. Niculescu: The integral version of Popoviciu's inequality. In: Journal of Mathematical Inequalities. Band 3, 2009, S. 323–328 (MR2597657).
• T. Popoviciu: Sur quelques inégalités. In: Gaz. Mat. Fiz. Ser. A. Band 11 (64), 1959, S. 451–461 (MR0125925).
• Tiberiu Popoviciu: Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes. In: Analele Ştiințifice Univ. “Al. I. Cuza”, Iasi, Secția Mat. [Neue Serie]. Band 11, 1965, S. 155–164 (MR0206178).
• Shanhe Wu: Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality. In: Computers & Mathematics with Applications. Band 56, 2008, S. 1196–1205, doi:10.1016/j.camwa.2008.02.021 (MR2437287).

Einzelnachweise und Fußnoten

1. Vgl. Artikel Tiberiu Popoviciu in der rumänischen Wikipedia!
2. Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. 2006, S. 12, 33
3. Niculescu/Persson, op. cit., S. 12
4. Niculescu/Persson, op. cit., S. 14
5. Niculescu/Persson, op. cit., S. 60
6. Vgl. Liste (=>@1@2Vorlage:Toter Link/ams.math.uni-bielefeld.de (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im Mai 2019. Suche in Webarchiven)) im MathSciNet!
7. Constantin P. Niculescu: The integral version of Popoviciu's inequality. J. Math. Inequal. 3 (2009), no. 3, 323–328
8. Shanhe Wu: Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality In: Comput. Math. Appl. 56, S. 1196 ff
9. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 58, 39
10. Die Ungleichung von Aczél ergibt sich durch Setzung von ${\displaystyle p=q=2}$  .