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Die transitive Hülle einer Menge (oft mit für transitive closure bezeichnet) ist die kleinste Obermenge von , die transitiv ist. Die Existenz und Eindeutigkeit lassen sich in ZF (das Auswahlaxiom ist dafür nicht notwendig) beweisen. Maßgeblich gehen dabei das Ersetzungsschema und Unendlichkeitsaxiom ein. Da die kleinste transitive Obermenge von ist, gilt genau dann, wenn transitiv ist.
Durch Induktion über lässt sich zeigen, dass für jede Menge eine Funktion [1] mit existiert, die
erfüllt. Das Ersetzungsschema sichert nun die Existenz der Menge
und aufgrund des Vereinigungsaxioms[A 1] existiert
welchem man schnell die von geforderten Eigenschaften nachweist. Es gilt also
Es wird hier eine iterierte Mengenvereinigung definiert, nämlich
Fasst man die Element-Relation als homogene Relation auf, dann steht auf der rechten Seite gerade die n-fache Verkettung von mit sich selbst, also deren n. Potenz (siehe Relation §Homogene Relationen: Potenzen). Damit kann weiter vereinfacht werden zu
Die transitive Hülle wird dann zu
In vielen Beweisen in der Mengenlehre braucht man für ein bestimmtes Argument die Transitivität einer Menge. Kann man zusätzlich zeigen, dass die Aussage für eine Menge gilt, wenn man eine Obermenge findet, für die sie gilt, so bietet es sich an, von zur transitiven Hülle überzugehen.
Eine ähnliche Vorgehensweise findet man zum Beispiel im Beweis des Epsilon-Induktions-Verfahren wieder.
Sei eine Menge mit einer homogene Relation darauf. Die -transitive Hülle ist dann gegeben durch
Dies ist das Urbild von unter , der reflexiv-transitiven Hülle der Relation . ist die kleinste Obermenge von , die -transitiv ist. Im Fall repliziert die verallgemeinerte Definition den obigen Spezialfall.
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